线性同余方程求解

合集 - 数学(12)

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对于线性同余方程: $$ax \equiv b\pmod{n}$$ 其中 $a > 0,n > 0$ 进行求解。
首先我们可以将其改写为线性不定方程的形式： $$ax + ny = b$$
注：以下讨论的方程的解都是整数解，非整数解不做讨论。

1. 解的情况#

根据裴蜀定理：若 $a,b$ 是整数,且 $\gcd(a,b) = d$，那么对于任意的整数 $x,y$，$ax + by$ 都一定是 $d$ 的倍数，特别地，一定存在整数 $x,y$，使 $ax + by = d$ 成立。

我们可以得知，$ax + ny$ 的值一定是 $\gcd(a,n)$ 的倍数，那么:

当 $b$ 为 $\gcd(a,n)$ 的倍数时，原方程有整数解；反之则无整数解。

2. 解的数量#

方程 $ax \equiv b\pmod{n}$ 或者对模 $n$ 有 $d$ 个不同的解，或者无解，这里 $d = \gcd(a,n)$

3.求解#

令 $d = \gcd(a,n)$，假设对某些整数 $x'$ 和 $y'$，有 $d = ax' + ny'$。如果 $d \mid b$，则方程 $ax \equiv b\pmod{n}$ 有一个解的值为 $x_0$，这里有 $$x_0 = x'\ (b/d)\ mod\ n$$

假设方程 $ax \equiv b\pmod{n}$ 有解（即 $d \mid b$，这里 $d = \gcd(a,n)$），且 $x_0$ 是该方程的任意一个解。因此，该方程对模 $n$ 恰有 $d$ 个不同的解，分别为 $x_i = x_0 + i(n/d)$，这里 $i = 0,1,\cdots,d-1$。

特例：#

对任意 $n > 1$，如果 $\gcd(a,n) = 1$，则方程 $ax \equiv b\pmod{n}$ 对模 $n$ 有唯一解。

其实当 $b = 1$ 时，这里求的 $x$ 就是 $a$ 对模 $n$ 的乘法逆元。

对任意 $n > 1$，如果 $\gcd(a,n) = 1$，则方程 $ax \equiv 1\pmod{n}$ 对模 $n$ 或者有唯一解，或者无解。

证明以后再慢慢补。