背包问题（一） 01背包

题目释义#

有一个背包容量为 $m$ 的背包，$n$ 个物品。每个物品的重量为 $w$，价值为 $v$ 。

要求在选取物品总重量不大于背包容量的情况下，使得选取物品总价值最大。

每种物品仅可使用一次。

分析#

首先，我们用 $f[i][j]$ 表示前 $i$ 个物品放入容量为 $j$ 的背包的最大价值。

对于每个物品，我们只有两个选择，即放和不放。

• 若放入背包，则 $f[i][j] = f[i-1][j-w[i] ]+v[i]$。

• 若不放入背包，则 $f[i][j]=f[i-1][j]$。

• 但我们还要考虑，背包容量不足时也不能放入背包。

因此，状态转移方程为

$f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][ j-w[i] ]+v[i]);$

Code:#

for(int i = 1;i <= n;i++)// 依次枚举每个物品； 
	for(int j = m;j >= 0;j--)// 枚举背包容量； 
		if( j >= w[i] )// 放得下； 
			f[i][j] = max(f[i-1][j],f[i-1][ j-w[i] ]+v[i]);
		else// 放不下； 
			f[i][j] = f[i-1][j];

以上的代码时间复杂度和空间复杂度均为 $O(nm)$，若题目中给出 $n，m \leq$ $10000$ ，它可能就会出现 MLE 的情况。

优化#

我们发现，$f[i][j]$ 只与 $f[i-1][...]$ 有关，那我们可以优化掉数组的第一维，直接用 $f[j]$
来表示处理到当前物品时背包容量为 $j$ 时的最大价值，
得出以下方程：

$f[j]=max(f[j-1],f[j-w[i]]+v[i]);$

注意： 为防止之前的值被覆盖，需要逆向枚举背包容量。

而原先未经优化的代码无需考虑背包容量的枚举顺序。

空间复杂度由 $O(nm)$ 降至 $O(m)$。

Code#

for(int i=1;i<=n;i++)
	for(int j=m;j>=w[i];j--)// 逆向枚举；
		f[j]=max(f[j],f[ j-w[i] ]+v[i]);

例题#

P2871 [USACO07DEC]Charm Bracelet S（模板）

P1048 [NOIP2005 普及组] 采药（模板）

P1049 [NOIP2001 普及组] 装箱问题

P1060 [NOIP2006 普及组] 开心的金明