P11059 [入门赛 #27] 数字 (Hard Ver.)题解

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1.题解：P11008 『STA - R7』异或生成序列2024-10-062.P10678 『STA - R6』月 题解2024-10-06

3.P11059 [入门赛 #27] 数字 (Hard Ver.)题解2024-10-06

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Solution

先读题:

在给定x的位数$n$和模数$p$后,要求构造一个$x$在满足$x\mathrm{mod}p$的余数尽可能小的前提下使$x$的数字尽可能小。

我们假设$x$的各位数字之和为$m$,有$1\le m\le 9n$。.
(当$x$仅在最高位有1时$m=1$,称为情况一,当x每位为9时$m=9n$,称为情况二)
此时对于$m$有两种情况:

在$p>9n$或$p=1$时无需构造,属于情况一。

$1<p\le 9n$时需构造,属于情况二,且可以简单证明必定有一个合法$x$使$x\mathrm{mod}p=0$。

做法:

对于情况二，容易想到一种贪心解法,此时的模数$p$可直接看作能在每一位放的所有数字之和,步骤如下：

1. 在最高位先放数字1维持$x$合法并是$p$减1。
2. 再从最低位开始放数字，当$p>=9$时该位放9且让$p$减去9,当$1\le p\le 8$且不为最高位时使该位为p，接着走向较高的下一位。
3. 放置过程中若$p=0$,那么说明所有数字放完,退出。
4. 若在最高位仍有$p>0$,那么时最高位为$p+1$(在步骤一中最高位已经放了1,再加上此时的$p$)并退出。

复杂度分析:

因为按位放数字,有$n$位,复杂度为$O(n)$,且$1\le n\le {10}^6$,该方式可行。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+1;
int n,p,a[N],idx=1;
int main() {
	cin>>n>>p;
	if(n*9<p){
		putchar('1');
		for(int i=1;i<n;++i)putchar('0');
	}else{
		p--;
		while(idx!=n&&p){
			if(p>=10)a[idx]=9;
			else a[idx]=p;
			p-=a[idx];
			++idx;
		}
		a[n]=++p;
		for(int i=n;i>=1;--i)cout<<a[i];
	}
    return 0;
}