题解：P11008 『STA - R7』异或生成序列

合集 - 题解合集(3)

1.题解：P11008 『STA - R7』异或生成序列2024-10-06

2.P10678 『STA - R6』月 题解2024-10-063.P11059 [入门赛 #27] 数字 (Hard Ver.)题解2024-10-06

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Solution

序列 $p$ 是 $1$ ~ $n$ 的排列，因此考虑搜索回溯。

由 $\sum n\le 2\times {10}^6$ 得知 $O(n^2)$ 会炸，深感遗憾但仍考虑剪枝。

坚信深搜过百万的蒟蒻。。。

原 $b$ 序列为长度 $n-1$ 的序列:

{ $b_1,b_2,b_3\cdots b_n-1$ }

将其前面插入一个元素 $x$ ，得到长度为 $n$ 的序列 $b^{\prime }$ ：

{ $x,b_1,b_2,b_3\cdots b_n-1$ }

若 $f(i)$ 表示原 $b$ 序列从第 $1$ 位到第 $i$ 位的异或前缀和，$f^{\prime }(i)$表示后 $b^{\prime }$ 序列从第 $1$ 到第 $i+1$ 位的异或前缀和，则有：

$f^{\prime }(i)=f(i)$ xor $b_1^{\prime }$

当 $b_1^{\prime }$ 可行时，根据题目中异或运算性质将其做异或前缀和便得到了所要求的 $p$ 序列，此时 $p_i=f^{\prime }(i)$ ，这样保证了 $b_i=p_i$ $xor$ $p_{i+1}$ 。

此时有一个浅显的可行性剪枝，因为 $1\le f^{\prime }(i)\le n$ , 所以当存在一个 $b_1^{\prime }$ 使任意一个$f^{\prime }(i)$ 满足如下条件时，此时序列 $b^{\prime }$ 第一个数字不可行 。：

$f^{\prime }(i)$ = $f(i)$ $xor$ $b_1^{\prime }=n+1$ 或 $0$

因此可以一边输入 $b$ 序列一边存异或前缀和，每一位筛掉一个如此的 $b_1^{\prime }$ 。

（这实际上把一部分不可行搜索给提前筛掉，剩下的不可行搜索仍继续判断并剪枝，这样便能大大降低复杂度，将那些把搜索代码卡到趋近 $O(n^2)$ 的数据削弱成$O(n\log n)$。不写快读不加$O2$, $800ms$ 险胜)

综上，我们便完成（水过）了这一题。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2e6+1;
int t,n,fl,b[N],p[N],mp[N],sum;
//mp存是否填过该数字
unordered_map<int,int> vis;
//vis存可行性,true表示不可行,map的初始化比数组稍快亿点点，不用TLE
void dfs(int x,int dep){
	if(x<1||x>n||mp[x])return;//可行性剪枝，当P[i]大于n 或 小于1 或 数字重复时不可行
	if(dep==n){//可行
		for(int i=1;i<n;++i)printf("%d ",p[i]);//输出答案
		printf("%d\n",x);
		fl=0;//已经输出答案,打上标记避免再次搜索
		return;
	}
	p[dep]=x;
	//搜索回溯
	++mp[x];
	dfs(b[dep]^x,dep+1);
	--mp[x];
}
int main() {
	scanf("%d",&t);
    while(t--){
    	scanf("%d",&n);
    	vis.clear();//初始化
        fl=1,sum=0;
        for(int i=1;i<n;++i){
        	scanf("%d",b+i);
        	sum^=b[i];//做异或前缀和
			++vis[sum];//剪枝：第一个数字的选择中筛掉0^sum即sum(序列p中仅有1~n,没有0)
//        	++vis[(n+1)^sum]; 剪枝：第一个数字的选择中筛掉(n+1)^sum(序列p中仅有1~n,没有n+1)
//          做其中一个剪枝就行，两个剪枝一起做速度更慢
		}
        for(int i=1;i<=n;++i){
        	if(!fl) break;//如果可行
        	if(!vis[i]) dfs(i,1);//如果且尚未输出答案，搜索第一个数为i的情况
		}
    }
    return 0;
}

快读压行代码

加了快读的代码（ $600$ 多$ms$ 险胜，压行，码风稍怪，轻喷）：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define to(x,y) for(int x=1;x<=y;++x)
#define fr(x,y) for(int x=0;x<y;++x)

inline void wrt(int x) {if (x < 0) {x = -x;putchar('-');}if (x > 9) wrt(x / 10);putchar(x % 10 + '0');}
inline int read(){int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<48||ch>57){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(ch>=48&&ch<=57)x=x*10+ch-48,ch=getchar();return x*f;}

const int N=2e6+1;
int t,n,fl,b[N],p[N],mp[N],sum;
unordered_map<int,int> vis;

void dfs(int x,int dep){
	if(x==0||x>n||mp[x])return;
	if(dep==n){
		to(i,n-1)wrt(p[i]),putchar(' ');
		wrt(x),putchar('\n');
		fl=0;
		return;
	}
	p[dep]=x,++mp[x];
	dfs(b[dep]^x,dep+1);
	--mp[x];
}
int main() {
    for(t=read();t--;){
    	vis.clear();
        n=read();
        fl=1;sum=0;
        to (i,n - 1)b[i]=read(),sum^=b[i],++vis[sum];
        to(i,n){
        	if(!fl)break;
        	if(!vis[i]){
        		dfs(i,1);
			}
		}
    }
    return 0;
}