n个骰子的点数

这题出自LeetCode，题目如下：

把n个骰子扔在地上，所有骰子朝上一面的点数之和为s。输入n，打印出s的所有可能的值出现的概率。

你需要用一个浮点数数组返回答案，其中第 i 个元素代表这 n 个骰子所能掷出的点数集合中第 i 小的那个的概率。

示例 1:

输入: 1
输出: [0.16667,0.16667,0.16667,0.16667,0.16667,0.16667]

示例 2:

输入: 2
输出: [0.02778,0.05556,0.08333,0.11111,0.13889,0.16667,0.13889,0.11111,0.08333,0.05556,0.02778]

限制：

1 <= n <= 11

首先，容易发现这是一道动态规划的题，里面每一种可能性太多了，且为了计算每一种可能性，里面相互重叠的部分非常多，必然存在着大量重复的计算，而动态规划本质就是为了避免子可能性的重复计算而提出的算法。那么，接下来，我们要思考如何将问题进行拆分成子问题，并且通过解决子问题就可以快速得到问题本身的答案。

我们看到，虽然问题是去求概率，但是投掷n个骰子所能得到的不同排列次数是固定的，即

\[N = 6^n \]

那么问题转换成用n个骰子组成和为s的不同排列次数有多少种，可以记为f(n,s)。此时，我们可以想象把这n个骰子分成两堆，一堆有n-1个，另一堆只有1个。显然，1个骰子掷出1的可能性只有1种，同样，掷出2、3、4、5、6的可能性也只有1种。那么问题转化成了：

\[f(n,s) = \sum_{i=1}^{6}f(n,s-i) \]

容易知道，f(1,1),f(1,2),...f(1,6) = 1。我们可以先把这些边界值填上，然后不断地往上计算，就能得到最终的f(n,s)。代码如下：

class Solution {
public:
    vector<double> dicesProbability(int n) {
        int m = n * 6;
        int **a = new int *[m + 1];  
        for(int i = 0; i < m + 1; i++)  
        {  
            a[i] = new int[n + 1];
            for(int j = 0; j < n + 1; j++)  
            {
                a[i][j] = 0;
            }
        } 
        for(int i = 1; i <= m; i++)
        {
            if(i <= 6)
            {
                a[i][1] = 1;
            }
            else
            {
                a[i][1] = 0;
            }
        }

        for(int j = 2; j < n; j++)
        {
            a[1][j] = 0;
        }

        for(int i = 2; i <= m; i++)
        {
            for(int j = 2; j <= n; j++)
            {
                a[i][j] = calc(a, i, j);
            }
        }

        int all = 1;
        for(int j = 1; j <= n; j++)
        {
            all *= 6;
        }

        vector<double> res;
        for(int i = 1; i <= m; i++)
        {
            if(a[i][n] != 0)
            {
                res.push_back(a[i][n] / (all * 1.0));
            }
        }

        return res;
    }

    int calc(int **a, int m, int n)
    {
        int sum = 0;
        for(int i = 1; i <= 6; i++)
        {
            if(m - i > 0)
            {
                sum += a[m - i][n - 1];
            }
        }
        return sum;
    }
};

值得一提的是，可以看出我们的公式计算实际上只依赖前一个状态，所以其实并不需要二维存储空间，使用一维数组就能解决问题。

class Solution {
public:
    vector<double> dicesProbability(int n) {
        int *a = new int[6 * n + 1];
        for(int i = 0; i <= 6 * n; i++)
        {
            a[i] = 0;
        }
        for(int i = 1; i <= 6; i++)
        {
            a[i] = 1;
        }

        for(int i = 2; i <= n; i++)
        {
            for(int j = 6 * i; j >= i; j--)
            {
                int s = j - 6;
                if(s <= i - 1)
                {
                    s = i - 1;
                }
                a[j] = 0;
                for(int k = s; k <= j - 1; k++)
                {
                    a[j] += a[k];
                }
            }
        }

        vector<double> res;
        int all = 1;
        for(int i = 1; i <= n; i++)
        {
            all *= 6;
        }

        for(int i = n; i <= 6 * n; i++)
        {
            if(a[i] != 0)
            {
                res.push_back(a[i] / (all * 1.0));
            }
        }

        return res;
    }
};

注意一点，在计算f(n, s)时，数组前面6个f(n - 1, s - 1), ..., f(n - 1, s - 6)不一定都是有效的值，因为在计算f(n - 1, s)时，我们是从s = n - 1的情况下开始算的，这也好理解，毕竟n - 1个骰子掷出的最小点数之和必定是n - 1。所以我们在计算f(n, s)时要从第一个有效的值开始算起，即min(n - 1, s - 6)。否则可能会把前几次计算遗留下的脏值给错误计算进去，得到不正确的结果。