投影矩阵求逆
什么是投影矩阵的逆矩阵呢？从几何意义上来讲，就是把投影到NDC的坐标转化为观察空间下的坐标。
假设y方向的视域角\(\alpha\)，视域的宽高比为\(r\)，投影平面距离摄像机的距离为\(d\)，视域的宽为\(w\)，高为\(h\)，近剪裁面距离摄像机的距离为\(n\)，远剪裁面距离摄像机的距离为\(f\)。首先有：
\[r= \frac{w}{h}
\]
\[tan\frac{\alpha}{2} = \frac{h}{d}
\]
假设任一点\(P\)，投影后的坐标为\((x, y, z)\)，观察空间下的坐标为\((x', y', z')\)，那么有：
\[\dfrac{x'}{wx} = \dfrac{z'}{d}
\]
\[\dfrac{y'}{hy} = \dfrac{z'}{d}
\]
这里，分别给\(x\)和\(y\)乘以\(w\)和\(h\)是因为NDC的坐标是归一化过的，要先还原到\([-w, w]\)和\([-h, h]\)的取值范围。
综合上式，求出\(x'\)和\(y'\)：
\[x' = \dfrac{z'wx}{d} = z'rtan(\dfrac{\alpha}{2})x
\]
\[y' = \dfrac{z'hy}{d} = z'tan(\dfrac{\alpha}{2})y
\]
注意到上述求得的\(x'\)和\(y'\)里的分母中均包含\(z'\)，为了用矩阵形式来表达逆投影变换，必须要借助齐次坐标，对\((x',y',z',1)\)各除以\(z'\),即转换为\((\dfrac{x'}{z'}, \dfrac{y'}{z'}, 1, \dfrac{1}{z'})\)。 有：
\[[x, y, z, 1] \cdot \begin{bmatrix} rtan\dfrac{\alpha}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & tan\dfrac{\alpha}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & A \\ 0 & 0 & 1 & B \end{bmatrix} = [\dfrac{x'}{z'}, \dfrac{y'}{z'}, 1, Az+B]
\]
由投影变换可知，\(z\)可以写成：
\[z = \dfrac{\dfrac{f}{f - n}z' + \dfrac{nf}{n - f}}{z'}
\]
由此可知，解得\(\dfrac{1}{z'}\)：
\[\dfrac{1}{z'} = \dfrac{n - f}{nf}z + \dfrac{1}{n}
\]
也就有：
\[\begin{cases}
A = \dfrac{n - f}{nf} \\
B = \dfrac{1}{n}
\end{cases}
\]
最终得到投影矩阵的逆矩阵为：
\[\begin{bmatrix} rtan\dfrac{\alpha}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & tan\dfrac{\alpha}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{n - f}{nf} \\ 0 & 0 & 1 & \dfrac{1}{n} \end{bmatrix}
\]
