施密特正交化
对于一组向量,有时候我们需要对其进行正交化处理,也就是说,该组向量中任意两个向量都是互相垂直的。那么,要怎么做呢?
假设只有两个向量,\(\vec v_0\)和\(\vec v_1\),正交化的几何示意图如下所示。
假设正交化之后的向量为\(\vec w_0\)和\(\vec w_1\),那么由图可知,可得\(\vec w_0 = \vec v_0\),且有:
\(\vec w_1 = \vec v_1 - \dfrac{\vec v_1 \cdot \vec w_0}{|\vec w_0|}\)
这里减去的部分是向量\(\vec v_1\)在向量\(\vec w_0\)上的投影。然后将\(\vec w_0\)和\(\vec w_1\)进行归一化,就得到了最终的结果。
那么,如果有三个向量,\(\vec v_0\),\(\vec v_1\),\(\vec v_2\),这种情况要如何处理呢?同样地,正交化的几何示意图如下所示。
假设正交化之后的向量为\(\vec w_0\),\(\vec w_1\),\(\vec w_2\),由图可知,可得\(\vec w_0 = \vec v_0\),且有:
\(\vec w_1 = \vec v_1 - \dfrac{\vec v_1 \cdot \vec w_0}{|\vec w_0|}\)
\(\vec w_2 = \vec v_2 - \dfrac{\vec v_2 \cdot \vec w_0}{|\vec w_0|} - \dfrac{\vec v_2 \cdot \vec w_1}{|\vec w_1|}\)
从图中可以看出向量\(\vec w_2\)即为向量\(\vec v_2\)减去在\(\vec w_0\)和\(\vec w_1\)上的投影。将这三个向量进行归一化即可得到最终的结果。
那么,假如我们有一组向量\(\{ \vec v_0, \vec v_1, \vec v_2, ..., \vec v_n \}\),要想求得它们正交化后的向量组\(\{ \vec w_0, \vec w_1, \vec w_2, ..., \vec w_n \}\),步骤如下:
- 令\(\vec w_0 = \vec v_0\);
- 计算\(\vec w_i = \vec v_i - \sum_{j = 0}^{i - 1} \dfrac{\vec v_i \cdot \vec w_j}{|\vec w_j |};1 \leq i \leq n\);
- 将得到的\(\{ \vec w_0, \vec w_1, \vec w_2, ..., \vec w_n \}\)进行正交化。