关于个人感觉冷门的介值定理的记录

这题感觉可以当作一个介值定理的题来做，反正我觉得隐藏的很深的。

第一问来看简单的一个积分中值定理+一个罗尔定理能够快速解决一个\(f^{'}(x_1)=0\)但是第二个找不出来实际上确实需要用到我个人感觉比较冷门的介值定理来解决。

首先原函数是连续的，那么如果假设在\([2,3]\)上的最小值是\(m\),最大值是\(M\),那么\(f(2)\)和\(f(3)\)都是肯定介于\(m\)和\(M\)之间的那么\(nm\le nf(2)\le nM\)所以\(2m\le f(2)+f(3)\le 2M\) 把二除过去就是\(m \le\frac{f(2)+f(3)}{2}\le M\),这时候就需要介值定理出场了。

所以也就是可以认为存在一个\(x_0\)在\([2,3]\)内使得\(f(x_0)=\frac{f(2)+f(3)}{2}\)那么就可以与前面的连起来用第二个罗尔定理了。

第二问就不用说了构造\(g(x)=e^{-2x}f^{'}(x)\)再用罗尔定理就OK了