我是学代数几何的..我认为代数几何比微分几何有趣多了. 虽然为分几何的重要性是无庸置疑,但是代数几何有更多巧妙得构思,也有更有趣的问题..3 e* l7 K! Y( c2 X0 b2 E
要想在代数解何界有一番作为, 比须学习以下各种功夫: ( 在书是困难度.(趣味)性, 从 1 到 5 从 易到难(无聊到有趣) 投资报酬率 也就市读了的话将来的有用程度 )
1 武当长拳( 基本功夫), S+ k/ s' T8 L: G
Atiyah&McDonald 的 Introduction to Commutative Algebra 和 Matsumura 的 Commutative Algebra 是代数几何中代数部份的背景知识. 两本书只重视代数而不提及几何,但第一本书的习题有很多引出几何背后意义的好问题. 事实上任何一个交换代数的定理 都有几何意义. ; R& Y' O1 Z3 L4 t D8 [
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2 梯云纵 (练了想进哪个分支都可以 ...)
Robin Hartshorne 的 Algebraic Geometry 是代数几何的经典教科书.任何一个年纪不到五十的代数几何学家都是学这本书长大的. 这本书是 Grothendick 的 EGA 和 SGA 一部分的一个非常有系统的总结. Grothendick 的书包含的内容很齐全但是失于不实际: 也就是讨论的对象过于一般友时没有几何意义, 这一点十分不好. 但是 Hartshorne 的书把整个 Grothendick 的 Scheme 纲领 作了一个最恰当的诠释.这本书的习题也非常重要 不管将来对 算数几何 或复几何 或 更深入的代数几何 这本书的习题都是永远有用的.# ? @* Q, d: K7 \7 a Z
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(PS: Hartshorne 的书的精华在 123 章, 其45章 对于如果不是做算数几何的人是没有用处的,有更好的替代用书)
3 一套武术服饰(行走江湖 要穿衣服)
Gunning 的 Lectures on Riemann surface 或 Forster 或 Farkas 或 Jost 的 Riemann Surface: 黎曼曲面是真正的数学. 跟一切的数学分之都有重大关系. 上述四个作者的书都有相当深度. 我只念过 Gunning 的, 是一本比较重视"上同调群" 的好书. 其它几本又或重视黎曼面的 hyperbolic geometry 或 automorphism 或 special linear series. 都非常有意思. 很多人 ,尤其是中国人 还喜欢 伍鸿禧 写的黎曼曲面引论. 但我并不是非常喜欢.& c p! F2 v+ G# _# j7 {- y* ?
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4 全真派基本内功(一定要练)
Griffith& Haris 的 Principles in Algebraic Geometry. 这本书是经典中的经典.是复几何的基本教材. 这本书的每一章都很棒. 第一章是Hodge 理论..是几何中最深奥的理论. 第二章是Kodaira 嵌入定理 复流行的嵌入比实流形的嵌入有趣多了. 第三章是 current 和 spectral sequence, 是很重要的工具. 第四章 是曲面论 . 写的很详尽 但是有更好的书(见6). 第五张是特殊专题 对袋鼠几何中不同方向的人有不同功用.
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5 九阳神功3 l" l" F- }" w8 {+ e
Barth & Hulek & Peters 的 Compact complex surfaces. 这本书是经典中的经典中的经典. 讲的是代数曲面的各种专题. 每个章节都写的无限完美. 可以说如果学代数几何没念过这本书. 甚至是学几盒没念过这本书..可以考虑换行.是百年难得一见的好书. 我个人以为此书新版的最后两张写的尤其好. 一是 K3 曲面 另一个是 Doanaldson 和 Seiber Witten 理论. 现在都是无限热门的专题. * r6 
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6 少林派罗汉拳(可以练练,如果没事)
Robert Friedman 的 Algebraic Surfaces and Holomorphic Vector Bundles 这本书是 讲曲面和上面的向量丛. 曲面得部分讲得有点乱,事实上没有人把曲面讲的比 Barth 还好的. 向量丛得部分值得一看.& x6 o: r5 Y/ {! y
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7 吸星大法 (练完就可以吸取微分拓墣学家的内功以为己用)/ Q" W! F' n/ z) s4 x A" r J- x) I8 p# i
Donaldson & Kroheimer 的 The Geometry of Four manifold. 这是微分拓墣中的圣经.两人都是大家. 此书引出了四维流形的 Gauge Invariant (规范不变量), 而复曲面是四维流形中的一大类 ..因此也是代数几何的好书.9 n& F% R' L, {7 c- E9 \7 z! t
------------------困难度 难 趣味性 ***** 投资报酬率 0 (本书效益在五十年后), o8 w- d. ]/ r0 V0 D" f: Q
8 乾坤大挪移 (练到一半就够强了 全部练完你也吐血而亡) 2 V3 Q( k5 H- p1 _& d9 G7 {! V1 V9 j
John Morgan 和 Robert Friedman 的 Smooth four manifold and Complex surfaces.. k! a3 D' r( }
这本书讲得是椭圆曲面和其上面Donaldson 规范不变量理论.作者利用此理论得到了曲面 的一个大定理, 证明了最多只能有有限个复变形类共享一个微分结构. 是一本很专门的书 我还在努力学习.
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9 筋肉人和加菲猫的无敌风火轮 (练前请三思)
Haris 的 The Geometry of Algebraic Crves. 是非常非常狭宰的领域. 研究的是代数曲线上的特殊线性系统. 非常难念的一本书.念完后的用处也不多..但是可以成为一个代数曲线的专家., d; Z4 U" I( y1 i9 O( J9 E: c3 w" c
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10 五狱派剑法 (有用处但是相当杂乱.拼拼凑凑)
Joe Harris & David Morrison 的 Moduli of Curves 这是讲曲线的模空间的经典.但我并不那么喜欢. 里面有 Enumerative Geometry (记数几何) 的一个引论. 有曲线模空间上的相交数和各种性质.-" [) |$ C% l$ g2 \* x% P1 v, Q6 Y0 t5 a
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11 九阴真经 (练完后可以开始真正研究问题)
John Morgan 和 Robert Friedman 的 Gauge Theory and the Topology of Four-Manifolds. 里面有Gieseker 写几何不变量理论. 李骏的 Uhlenbeck 紧化 和 Gesieker紧化的比较定理. Morgan 讨论 Donaldson 规范不变量 和更多人对此量的计算结果.
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12 太极拳 (发展无限)
Daniel Huybrecht 的 The Geoemtry of Moduli Space of Sheaves.: C" }: F& k( n: V8 ~/ @& i# i
是向量丛 模空间的经典用书. 第二部分有此学科最先进的结果. 各章的附录都有很重要又有趣的结果.- y* |- s& X/ k8 o z: s
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13 MK47 步枪 (可以对付一级武林高手)$ {2 w- R: M8 ]% Y! O. k
Joyce, Gross & Huybrecht 的 Calabi-Yau Manifolds and Related Geometries. 是最新的 Mirror symmetry 的专题书. 讲Calabi Yau 流形的各种相关问题. 有Yau 解决 Calabi 猜想的概述. 有 Mirror 猜想 和 SYZ (Strominger& Yau& Zaslow) 猜想. 还有 HyperKaeler 流形性质的讨论.这是二十世纪的数学.4 {2 { l. p4 p& h# [2 s+ \$ x, c
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14 机关枪 (可以抢银行) - c. @. e5 U" m3 [. w; k2 x9 Y) u2 t
Pandharipande, Sheldon Katz, Hori... 一群人合写的 Mirror Symmetry . 除了 Mirror conjecture 在五次三微流形(quintic three fold )的证明外, 还包括了 Gopakuma Vafa 猜想, Homological Mirror Symmetry 猜想, 甚至Mirror Symmetry 的源头: 高能物理中的弦论和 保角场论, 全都由专家执笔.. 从难到易..我现在也在闭关修练中.: e9 j6 c& `5 {' z
-----------困难度 极难(物理部分) 趣味性 ***** 投资报酬率 ***** 7 X6 h7 a8 `# A
15 原子弹( ...................)
Griffith 的 Topics in Trascendental Geometry 是霍奇结构(Hodge structure) 的一本经典书. 在1985年左右有一大票数学家想解决霍奇 猜想 (没错 就是那个一百万问题).她们虽然没有解出来 但对猜想有很深入的了解 . 本书是她们工作的简述. 是一本难读却很值得读的书.
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另外还有几本书没有介绍..比如说Mori 的三为复流形的 Minimal Model Programm 有很多专书..但是因为这个问题已经被 萧荫堂 以及 其它四个外国人 解决 (所有维度) 其投资报酬率已经是负的了. 又或是
转自：
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博士数学论坛 Quillen
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关于大学就把Hartshorne看完的人.我也认识不少.甚至还有女生.但是在我认识了这么多数学工作者之后.我发现这样的人并不是最牛的.
真正牛的人 是能从特殊例子读出一般性质的人
代数几何学起来很有趣.但是学的人有很多不同的背景 .比如念的下Hartshorne的人,分析不一定很行,念的下 Griffith Haris的人..Hartshorne 就不依定廿的下. 两者兼通的人,却也不一定两者的好处都能用上.主要原因是复几何和纯粹代数几何有很大的不同,在复几何里 classical cohomology or homotopy 都不需要特别处理, 在scheme over K 且 K 不是复数体的情形(很多人关心有限体) classical cohomology 需要 一整本 SGA 来定义成
Etale cohomology 而 homotopy 要用 Voevosky/Levine 的 Motivic homotopic theory.& f- r- U* T9 P0 K
更不要说著名的 Hodge Decompsition 和 harmonic analysis 或是 connection (规范) on holomorphic bundle, 都是复几何才有 而代数几何说不了多少.2 U3 X8 q7 H) Y+ ~
我个人非常认为复几何比纯代数几何有学习价值. 主要是直观的提供. 代数这种东西, 直觉不容易从中产生, 很多时候代数不过是简便的讨论对象的工具,和对象本身不大相同.但也不可以忽视.只是应以 直观为体, 代数为用 (分析为用也可以).当然学到极高的境界代数会有很妙的功用.另外 代数是简化分析语言的一个漂亮的办法. 比如 Hartshorne 的123章都是.但不应该迷失在漂亮的语言中.毕竟会说话的做不了事., Q( n, b' ~9 R
Hartshorne 有两个好处是复几何没有的.一是除了上述的 K不是复数 的这种 variety(or scheme)的性质,二是研究 singularity 的工具. 或毋宁说是语言.虽然只是语言,但是在分析里研究 一般singularity是几乎不可能的,在假设是多项式型态的singularity之后,交换代数就可以登台表演. 所以有一句名言很切实际: 代数不过是有限维的分析.
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当然我上述的是 General 的理论. 代数几何里面, 代数曲线=黎曼曲面=有
常曲率度规的流形, 这个一维(实数二维) 的情形是所有学科的交会点. 没有从哪一个方向学习比较好的区别
