每日一道 LeetCode (17)：爬楼梯

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每日一道 LeetCode 前文合集

代码仓库

GitHub： https://github.com/meteor1993/LeetCode

Gitee： https://gitee.com/inwsy/LeetCode

题目：爬楼梯

题目来源：https://leetcode-cn.com/problems/climbing-stairs/solution/pa-lou-ti-by-leetcode-solution/

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

注意：给定 n 是一个正整数。

示例 1：

输入： 2
输出： 2
解释： 有两种方法可以爬到楼顶。
1.  1 阶 + 1 阶
2.  2 阶

示例 2：

输入： 3
输出： 3
解释： 有三种方法可以爬到楼顶。
1.  1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2.  1 阶 + 2 阶
3.  2 阶 + 1 阶

解题过程

过程啥过程，这道题完全没有头绪好么。

好不容下班后爬了个 7 层楼回家，结果打开电脑接着让我爬楼梯，爬个锤子哦。

最近的题是怎么了，明明说好了是简单难度，结果还是一眼看下去连想法都没，让我回归下前两天的那些题它不好么。这道题我有一种强烈的预感是一道数学题，和程序关系不是很大。

么得办法，不会做就只能打开答案开始看答案了。

解题方案一：动态规划

说是动态规划，实际上是对题做了一个简单的推演：

输入    输出
1       1
2       2
3       3
4       5
5       8
...

看着是不是感觉很符合这个公式：

$$f(x) = f(x - 1) + f(x - 2)$$

这个公式其实很好理解，因为最后一次要么上 1 个台阶，要么是上 2 个台阶，上一个台阶前面的种数有 f(x - 1) 种，上 2 个台阶前面有 f(x - 2) 中方式，所以 f(x) 就是这两个加起来咯。

对着这个公式写代码其实很简单：

public int climbStairs(int n) {
    int p = 0, q = 0, r = 1;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        p = q;
        q = r;
        r = p + q;
    }
    return r;
}

解题方案二：斐波那契数列

我们把这个题结果的数列列出来看一下：

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 ...

如果上大学的时候没有偷懒的话，这个数列应该很有名，它是斐波那契数列，又叫黄金分割数列。

有关斐波那契是由一个通项公式的：

$$f(n) = \frac{1}{\sqrt{5}} [(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}) ^ n - (\frac{1 - \sqrt{5}}{2}) ^ n]$$

有了这个通项公式，写代码应该没啥问题了，照着写就好了。

至于这个通项公式的推导，我就不介绍了，感兴趣的同学可以自己百度去查，主要是这个公式打起来真的很费劲。

public int climbStairs_1(int n) {
    double sqrt5 = Math.sqrt(5);
    // 题目下标从 0 开始,因此求 n + 1
    double fibn = Math.pow((1 + sqrt5) / 2, n + 1) - Math.pow((1 - sqrt5) / 2, n + 1);
    return (int)(fibn / sqrt5);
}

其实答案中还有一个方案是叫 「矩阵快速幂」 ，这个思想我了解清楚了，但是答案中给的题解没咋看懂。

原谅我把大学的线性代数都不知道扔哪里去了，今天晚上基本上研究了半个晚上矩阵也没大懂，主要是年纪大了，以前学的东西都忘得差不多了。