常微分方程自救手册
一、微分方程求解
1. 恰当方程
定义
\[P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0
\]
存在可微函数\(\Phi(x,y)\),使得
\[d\Phi(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy
\]
解法
Step 1:验证是否为恰当方程：
\[\frac{\partial{P}}{\partial{y}}=\frac{\partial{Q}}{\partial{x}}
\]
Step 2:找到原函数，直接积分：
\[\Phi = Const
\]
2. 变量分离的方程
定义
\[X(x)Y_1(y)dx + X_1(x)Y(x)dy = 0
\]
解法
Step 1:变形为：
\[\frac{X(x)}{X_1(x)}dx+\frac{Y(y)}{Y_1(y)}dy=0
\]
Step 2:直接积分得通解和特解：
\[\int\frac{X(x)}{X_1(x)}dx+\int\frac{Y(y)}{Y_1(y)}dy = C
\]
特解：
\[X_1(x)=0；Y_1(y)=0
\]
3. 一阶线性方程
定义
\[\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)
\]
解法
常数变易法
Step 1:求出对应齐次方程的解：
\[dy + p(x)dx = 0 \\
y = Ce^{-\int{p(x)dx}}
\]
Step 2:将C改写为C(x)代入非齐次方程，得到非齐次方程的一个特解：
\[\frac{d}{dx}(C(x)e^{-\int{p(x)dx}}) + p(x)(C(x)e^{-\int{p(x)dx}}) = q(x) \\
\frac{dC(x)}{dx} = q(x)e^{\int{p(x)dx}} \\
y^* = C(x)e^{-\int{p(x)dx}} = e^{-\int{p(x)dx}}\int{q(x)e^{\int{p(x)dx}}dx}
\]
Step 3:组合起来得到方程的通解：
\[y = e^{-\int{p(x)dx}}(C+\int{q(x)e^{\int{p(x)dx}}dx})
\]
4. 齐次方程
定义
\[P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 \\
s.t. P(tx,ty)=t^mP(x,y), Q(tx,ty)=t^mQ(x,y)
\]
解法
Step 1:令\(y=ux\)，转化为变量分离的方程:
\[dy = udx + xdu \\
x^m[P(1,u)+uQ(1,u)]dx + x^{m+1}Q(1,u)du = 0
\]
5. 伯努利方程
定义
\[\frac{dy}{dx} + p(x)y = q(x)y^n
\]
解法
Step 1:以\((1-n)y^{-n}\)乘以两边：
\[(1-n)y^{-n}\frac{dy}{dx} + (1-n)y^{1-n}p(x) = (1-n)q(x)
\]
Step 2:令\(z=y^{1-n}\)，转化为一阶线性方程：
\[\frac{dz}{dx} + (1-n)p(x)z = (1-n)q(x)
\]
6. 里卡蒂方程
定义
\[\frac{dy}{dx} = p(x)y^2 + q(x)y + r(x) \\
p(x)不恒为0
\]
解法
情况一：已知一个特解\(y=\varphi_1(x)\):
Step 1: 将\(y=u+\varphi_1(x)\)代入，得到伯努利方程：
\[\frac{du}{dx} = [2p(x)\varphi_1(x)+q(x)]u+p(x)u^2
\]
情况二：\(\frac{dy}{dx} + ay^2 = bx^m, m = 0, -2\)
Step 1:若\(m=0\),方程是一个变量分离的方程：
\[\frac{dy}{dx} = b - y^2
\]
Step 2:若\(m=-2\)，令\(z=xy\)，代入得一个变量分离的方程：
\[dz = xdy + ydx \\
\frac{dz}{dx} = \frac{b+z-z^2}{x}
\]
7. 积分因子法
8. 一阶隐式微分方程、克莱罗方程
定义
\[F(x,y,\frac{dy}{dx})=0，其中\frac{dy}{dx}不是显函数
\]
\[克莱罗方程：y=xp+f(p),p=\frac{dy}{dx}
\]
解法
微分法（y可被分离）
Step 1: 解出\(y=f(x,p), p = \frac{dy}{dx}\)
Step 2: 对\(x\)微分，得到关于x和p得一阶显式微分方程：
\[p = f'_x(x,p) + f'_p(x,p)\frac{dp}{dx} \\
[f'_x(x,p)-p]dx+f'_p(x,p)dp = 0
\]
Step 3: 解得通解\(p=u(x,C)\)，代入方程，得到，注意特解：
\[y = f(x,u(x,C))
\]
参数法（不明显包含自变量）
Step 1: 设\(y=g(t), p=h(t)\)，得到：
\[dx = \frac 1 p dy = \frac{g'(t)}{h(t)}dt \\
\]
Step 2: 积分后得到通解：
\[x = \int{\frac{g'(t)}{h(t)}dt} + C，y=g(t)
\]
二、奇解与包络
1. 奇解
定义
特解上每个点都有相切的解
判断奇解
Step 1: 奇解满足p-判别式联立方程：
\[F(x,y,p)=0, F'_p(x,y,p)=0, p=\frac{dy}{dx}
\]
构造奇解
要求二阶连续可微
Step 1: 由p-判别式方程：
\[F(x,y,p)=0 \\
F'_p(x,y,p)=0 \\
p=\frac{dy}{dx}
\]
Step 2: 验证消去p后得到的方程\(y=\psi(x)\)是微分方程的解
\[F(x,\psi(x),\psi'(x))=0
\]
Step 3: 验证条件对\(x \in J\)成立
\[F'_y(x,\psi(x),\psi'(x)) \neq 0 \\
F''_{pp}(x,\psi(x),\psi'(x)) \neq 0 \\
F'_p(x,\psi(x),\psi'(x)) = 0
\]
Step 4: \(y=\psi(x)\)是微分方程的奇解
由包络构造奇解
Step 1: 求通积分
Step 2: 由C-判别式求出几支曲线
Step 3: 验证曲线是否为包络
2. 包络
定义
连续可微的曲线上任一点都有曲线通过并且相切
判断包络
Step 1: 包络满足C-判别式联立方程：
\[V(x,y,C)=0, V'_C(x,y,C)=0
\]
构造包络
Step 1: 由C-判别式方程：
\[V(x,y,C)=0 \\
V'_C(x,y,C)=0 \\
\]
Step 2: 得到一支不含于族的曲线
\[\Lambda:x=\varphi(C), y=\psi(C), C \in J
\]
Step 3: 验证满足非蜕化性条件
\[(\varphi'(C),\psi'(C)) \neq (0,0) \\
(V'_x, V'_y) = (0,0) \\
其中V'_x = V'_x(\varphi(C),\psi(C),C) = 0 \\
V'_y = V'_y(\varphi(C),\psi(C),C) = 0
\]
Step 4: 曲线\(\Lambda\)是微分方程的包络
三、线性微分方程组求解
1. 基本概念
基本解组
齐次线性微分方程组的n个线性无关的解
朗斯基(Wronsky)行列式
\[W(x) :=
\left|
\begin{array}{wronsky}
y_{11}(x) & y_{12}(x) & ... & y_{1n}(x) \\
y_{21}(x) & y_{22}(x) & ... & y_{2n}(x) \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
y_{n1}(x) & y_{n2}(x) & ... & y_{nn}(x)
\end{array}
\right|
\]
性质：恒等于0或者恒不为0
刘维尔公式
\[W(x) = W(x_0)e^{\int^x_{x0}{tr[A(x)]dx}}
\]
朗斯基行列式与解组的关系
线性无关：\(W(x) \neq 0\) 或者 \(\exists
x_0, W(x_0)\neq0\)
线性相关：\(W(x) \equiv 0\) 或者 \(\exists
x_0, W(x_0)=0\)
矩阵的指数函数
\[e^A := \sum^\infty_{k=0}\frac{A^k}{k!}
\]
性质基本上同\(e^x\)，值得注意的是若P是一个非奇异矩阵，则\(e^{PAP^{-1}} = Pe^AP^{-1}\)
2. 齐次线性微分方程组
定义
\[\frac{d\vec{y}}{dx} = \vec{A(x)}\vec y
\]
解法
Step 1: 列出方程组，解比较好解的式子，或者解组合的方程，得到通解
Step 2: 通解选取不同的值，代入其他方程中，得到解矩阵\(\vec{Y(x)}=(\vec{y_1},\vec{y_2},...,\vec{y_n})\)
Step 3: 验证解组是基解矩阵，即\(|\vec{Y(x)}| \neq 0\)
Step 4: 通解为\(\vec{y} = \vec{Y(x)}\vec c\)，c是任意常数列向量
3. 非齐次线性微分方程组
定义
\[\frac{d\vec{y}}{dx} = \vec{A(x)}\vec y + \vec{f(x)}
\]
解法
常数变易法
理论
Step 1:求出对应齐次线性方程组的解：
\[\frac{d\vec{y}}{dx} = \vec{A(x)}\vec y \\
\vec y = \vec{\Phi(x)}\vec{c}
\]
Step 2:将\(\vec c\)改写为\(\vec{c(x)}\)代入非齐次线性微分方程组：
\[\vec{\Phi'(x)}\vec{c(x)}+ \vec{\Phi(x)}\vec{c'(x)} = \vec{A(x)}\vec{\Phi(x)}\vec{c(x)} + \vec{f(x)} \\
由 \vec{\Phi'(x)} = \vec{A(x)}\vec{\Phi(x)},得到 \\
\vec{\Phi(x)}\vec{c'(x)} = \vec{f(x)} \\
由基解矩阵的朗斯基行列式不为零，可得 \\
\vec{c'(x)} = \vec{\Phi^{-1}}(x)\vec{f(x)} \\
特解为 \\
\vec{y^*} = \vec{\Phi(x)}\vec{c(x)} = \vec{\Phi(x)}\int^x_{x_0}{\vec{\Phi^{-1}}(s)\vec{f(s)}}
\]
Step 3: 组合起来得到方程的通解
\[\vec{y} = \vec{\Phi(x)}(\vec c + \int^x_{x_0}{\vec{\Phi^{-1}}(s)\vec{f(s)ds}})
\]
步骤
Step 1: 求出对应齐次线性微分方程组得基解矩阵
Step 2: 求出基解矩阵的逆
Step 3: 常数变易法求解
4. 常系数齐次线性微分方程组
定义
\[\frac{d\vec{y}}{dx} = \vec{A}\vec y
\]
解法
Step 1:求A的特征根\(\lambda_1, ..., \lambda_n\)和对应的特征向量\(\vec r_1,..., \vec r_n\)
IF(A只有单特征根（有n个线性无关的特征向量））
Step 2: 基解矩阵为\(\vec\Phi(x) = (e^{\lambda_1x}\vec r_1,..., e^{\lambda_nx}\vec r_n)\)
！若有复特征根！ Step 2': 取\(y_1 = u +i v; y_2 = u - iv\),从而\(u = \frac 1 2 (y_1+y_2); v = \frac 1 2 (y_1 - y_2)\)是实值解
！若有复特征根！ Step 2'': 利用\(e^{xA} = \Phi(x)\Phi^{-1}(0)\)解出实基解矩阵\(e^{xA}\)
ELSE(A有相重的特征根)
设A互不相同的特征根为\(\lambda_1, ..., \lambda_s\)，对应的重数分别为正整数\(n_1, ..., n_s\)
Step 2: 对每一个\(\lambda_i\)，解方程\((A-\lambda_iE)^{n_i}\vec r =0\)，得到非零解\(r_0\)，再由下式确定\(\vec r_i\)，进行\(n_i\)次：
\[\vec r_i = (A-\lambda_iE)\vec{r_{i-1}}
\]
Step 3: 在基解矩阵中与\(\lambda_i\)相关的\(n_i\)列都具有下列形式：
\[\vec y = e^{\lambda_ix}(r_0+\frac x {1!}\vec{r_1} + ... + \frac{x^{n_i-1}}{(n_i-1)!}\vec{r_{n_i-1}})
\]
Step 4: 基解矩阵为
\[\vec \Phi(x) = (e^{\lambda_1x}P_1^{(1)}(x);...;e^{\lambda_1x}P_{n_1}^{(1)}(x));...;e^{\lambda_sx}P_{1}^{(s)}(x));...;e^{\lambda_sx}P_{n_s}^{(s)}(x)) \\
其中 \\
P_{1}^{(i)}(x) = \vec r^{(i)}_{j0}+\frac x {1!}\vec{r_{j1}^{(i)}} + ... + \frac{x^{n_i-1}}{(n_i-1)!}\vec{r_{jn_{i-1}}^{(i)}}
\]
5. 常系数非齐次线性微分方程组
定义
\[\frac{\vec{dy}}{dx} = A\vec y + \vec f(x)
\]
解法
Step 1: 解对应的常系数齐次线性微分方程组，得到通解\(y = \vec \Phi(x) \vec c\)；
Step 2: 常数变易法，令\(y^* = \vec\Phi(x)\vec c(x)\)，代入方程，得到：
\[\vec\Phi'(x)\vec c(x) + \vec \Phi(x)\vec c'(x) = A\vec \Phi(x)\vec c(x) + \vec f(x) \\
得到 \\
\vec c'(x) = \vec \Phi^{-1}(x)\vec f(x) \\
积分得到 \\
y^* = \vec \Phi(x)\int{ \vec \Phi^{-1}(x)\vec f(x)dx}
\]
Step 3: 组合得到通解：
\[y = \vec \Phi(x)(\vec c +\int{ \vec \Phi^{-1}(x)\vec f(x)dx})
\]
6. 二阶齐次线性微分方程式
定义
\[y''+p(x)y'+q(x)y=0
\]
解法
Step 1: 设\(y=\varphi(x)\)在区间上恒不为零，设\(y=y(x)\)式方程的任意解，由刘维尔公式得到：
\[\left|
\array{
\varphi & y \\
\varphi' & y'
}
\right|
=\varphi y' - \varphi' y=Ce^{-\int{p(x)dx}}
\]
Step 2: 以积分因子\(\frac 1 {\varphi^2}\)乘以两端，可以推出
\[\frac d {dx}(\frac y \varphi) = \frac C {\varphi^2}e^{-\int{p(x)dx}}
\]
Step 3: 积分得到
\[y = \varphi(x)[C_1 +C_2\int^x_{x_0}{\frac 1 {\varphi^2}e^{-\int^s_{x_0}{p(t)dt}}ds}]
\]
7. 二阶非齐次线性微分方程式
定义
\[y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)
\]
解法
Step 1: 得到特解
\[\varphi^*(x) = \sum^n_{k=1}{\varphi_k(x)\int^x_{x_0}\frac{W_k(s)}{W(s)}f(s)ds} \\
\]
Step 2: 和对应的齐次方程式通解组合
8. 常系数高阶齐次线性微分方程式
定义
\[y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+...+a_{n-1}y'+a_ny=0
\]
解法
Step 1: 解对应的特征方程，在复数域中得到s个不同的根，相应的重数为\(n_1,...,n_s\)，基本解组为：
\[e^{\lambda_1x},xe^{\lambda_{1}x},...,x^{n_1-1}e^{\lambda_1x}; \\
...\\
e^{\lambda_sx},xe^{\lambda_{s}x},...,x^{n_s-1}e^{\lambda_sx};
\]
9. 常系数高阶非齐次线性微分方程式
定义
\[y^{(n)}+a_1y^{(n-1)}+...+a_{n-1}y'+a_ny=f(x)
\]
解法
常规方法
Step 1: 解对应的齐次方程式
Step 2: 常数变易公式得到特解，组合后得通解
\[\varphi^*(x) = \sum^n_{k=1}{\varphi_k(x)\int^x_{x_0}\frac{W_k(s)}{W(s)}f(s)ds} \\
\]
待定系数法
Step 1: 求解方程的特征值，求解齐次方程的通解
判断 f(x)的形式
情况一：\(f(x)=P_m(x)e^{\mu x}\)，其中\(\mu\)是方程的k重特征根，若不是则取\(k=0\)
Step 2: 将\(\varphi^*(x)=x^kQ_m(x)e^{\mu x}\)代入方程，求解\(Q_m(x)\)
情况二：\(f(x)=[A_m(x)cos(\beta x)+B_l(x)sin(\beta x)]e^{\alpha x}\)，其中\(\alpha \pm i\beta\)是方程的k重特征根，若不是特征根则取\(k=0\)
Step 3: 将\(\varphi^*(x)=[C_n(x)cos(\beta x)+D_n(x)sin(\beta x)]e^{\alpha x}\)
四、解的稳定性判断
1. 按线性近似判断稳定性
前提
\[\frac {d\vec x}{dt} = A(t)\vec x + N(t,\vec x)
\]
其中A(t)是n阶函数矩阵，对\(t \geq t_0\)连续，而函数\(N(t,\vec x)\)对\(t\)和\(\vec x\)在区域
\[G:\ t \geq t_0, |x| \leq M
\]
上连续，对\(\vec x\)满足李氏条件，并且还满足\(N(t,\vec 0) \equiv 0\)和
\[\lim_{|\vec x| \to 0}\frac{|N(t,\vec x)|}{|\vec x|} = 0
\]
判断
设线性方程中的矩阵\(A(t)\)为常矩阵，则
Step 1:解矩阵A的特征根
Step 2:讨论
1）零解渐进稳定：矩阵A的全部特征根都有负实部；
2）零解稳定：矩阵A的全部特征根的实部是非正的，且实部为0的特征根对应的若尔当块都是一阶的，即是单根；
3）零解不稳定：矩阵A的特征根中至少有一个实部为正；或者至少有一个实部为0，且对应的若尔当块高于一阶，即是重根；
2. 李雅普诺夫第二方法
前提
假设存在标量函数V(x)，在区域上有定义且有连续的偏导数
条件Ⅰ: \(V(\vec 0)=0; V(\vec x)>0,当 x \neq 0\)（称V为定正函数）
条件Ⅱ：\(\frac{dV}{dt}=\frac{\partial V}{\partial x_1}f_1+...+\frac{\partial V}{\partial x_n}f_n<0,当x \neq 0\)（称\(\frac {dV}{dx}\)为定负函数）
条件Ⅱ*：\(\frac{dV}{dt} \leq 0\)（称\(\frac {dV}{dx}\)为常负函数）
条件III：\(\frac{dV}{dt} > 0\)（称\(\frac {dV}{dx}\)为定正函数）
判断
Step 1: 构造李雅普诺夫函数
Step 2:
1）若Ⅰ和Ⅱ成立，则方程零解渐近稳定
2）若Ⅰ和Ⅱ*成立，则方程的零解是稳定的
3）若Ⅰ和III成立，则方程的零解不稳定
五、奇点的判断
1. 理论
奇点类型：
星形结点（临界结点）、单向结点（退化结点）、两向结点（结点）、鞍点、{稳定焦点、不稳定焦点}（焦点)、中心点
2. 线性平面系统的初等奇点判断
定义
\[\frac{d}{dt}
\left(
\array{
x \\
y
}
\right)
= A
\left(
\array{
x \\
y
}
\right)
\]
判断
直接判断
Step 1: 计算\(p=-tr[A]=-(a+d)，q=det[A]=ad-bc\)
Step 2: 判断
1）q<0时，（0，0）为鞍点
2）q>0，且\(p^2>4q\)时，（0，0）为两向结点
3）q>0，且\(p^2=4q\)时，（0，0）为单向结点或星形结点
4）q>0，且\(0<p^2<4q\) 时，（0，0）为焦点
5）q>0，且\(p=0\) 时，（0，0）为中心点
Step 3: 在2~4中，若p>0则奇点是稳定的，若p<0则奇点是不稳定的
若尔当矩阵判断
Step 1. 将A化为实若尔当矩阵
3. 非线性平面系统的初等奇点判断
定义
\[\left\{
\array{
\frac{dx}{dt}=ax+by+\varphi(x,y) \\
\frac{dy}{dt}=cx+dy+\psi(x,y)
}
\right.
\]
对\(\varphi(x) 和 \psi(x)\)提出三组条件，\(r=\sqrt{x^2+y^2}\)
条件A：\(\varphi(x,y) , \psi(x,y) = o(r), 当r\to0\)
条件B：\(\varphi(x,y) , \psi(x,y) = o(r^{1+\varepsilon}), 当r\to0\)
条件C：\(\varphi(x) , \psi(x) 在原点的一个小邻域内对x和y连续可微\)
判断
Step 1. 判断线性部分的奇点类型
Step 2. 判断非线性部分满足什么条件
Step 3.
1）是焦点且条件A成立，(0,0)也是系统的焦点
2）是鞍点或两向结点且条件A和B成立，(0,0)也是系统的鞍点或两向结点
3）是单向结点且条件A*成立，(0,0)也是系统的单向结点
4）是星形结点且条件A*和B成立，(0,0)也是系统的星形结点
六、幂级数解法
只讨论二阶齐次线性微分方程
\[A(x)y''+B(x)y'+C(x)y=0
\]
其中\(A(x),B(x),C(x)都在区间|x-x_0|<r内解析\)
若\(A(x_0\neq0)\)，称\(x_0\)为常点，那么在\(x_0\)点附近A(x)可以改写成：
\[y''+p(x)y'+q(x)y=0 \\
p(x)=\frac{B(x)}{A(x)},q(x)=\frac{C(x)}{A(x)}
\]
常点处的幂级数解法
Step 1: 将方程改写成标准形式：
\[y''+p(x)y'+q(x)y=0 \\
p(x)=\frac{B(x)}{A(x)},q(x)=\frac{C(x)}{A(x)}
\]
Step 2: 设方程有幂级数解：
\[y = \sum^{\infty}_{n=0}a_nx^n
\]
Step 3: 对幂级数解逐项微分，调整求和指标：
\[y'=\sum^{\infty}_{n=0}(n+1)a_{n+1}x^{n} \\
y'' = \sum^{\infty}_{n=0}(n+1)(n+2)a_{n+2}x^{n}
\]
Step 4: 代入方程中，比较系数：
\[\sum^{\infty}_{n=0}(n+1)(n+2)a_{n+2}x^{n} + p(x)\sum^{\infty}_{n=0}(n+1)a_{n+1}x^{n} + q(x)\sum^{\infty}_{n=0}a_nx^n=0 \\
\sum^{\infty}_{n=0}(n+1)[(n+2)a_{n+2}+p(x)a_{n+1}]x^n = \sum^{\infty}_{n=0}-q(x)a_nx^n \\
展开后比较系数
\]
奇点处的幂级数解法（广义幂级数解法）
定义
广义幂级数:
\[\sum^{\infty}_{n=0}C_n(x-x_0)^{n+\rho},(C_0 \neq 0),常数\rho称为指标
\]
正则奇点：
微分方程可以改写为
\[(x-x_0)^2P(x)y''+(x-x_0)Q(x)y'+R(x)y=0 \\
其中P(x),Q(x),R(x)是多项式，并且P(x_0) \neq 0,Q(x_0)和R(x_0)不同时为0 \\
称x_0为微分方程的正则奇点
\]
解法
Step 1: 将方程改写为：
\[(x-x_0)^2P(x)y''+(x-x_0)Q(x)y'+R(x)y=0
\]
Step 2: 设方程有广义幂级数解：
\[\sum^{\infty}_{n=0}C_n(x-x_0)^{n+\rho},(C_0 \neq 0),常数\rho称为指标
\]
Step 3: 对解逐项求导，调节求和指标：
\[y'=\sum^{\infty}_{n=0}(n+\rho+1)C_{n+1}x^{n+\rho} \\
y'' = \sum^{\infty}_{n=0}(n+\rho+1)(n+\rho+2)C_{n+2}x^{n+\rho}
\]
Step 4: 代入方程，比较系数，令n=0推出指标：
\[(x-x_0)^2P(x)\sum^{\infty}_{n=0}(n+\rho+1)(n+\rho+2)C_{n+2}x^{n+\rho}+(x-x_0)Q(x)\sum^{\infty}_{n=0}(n+\rho+1)C_{n+1}x^{n+\rho}\\ = -R(x)\sum^{\infty}_{n=0}C_n(x-x_0)^{n+\rho}
\]
