hihoCoder - 1075 开锁魔法III

Description

一日，崔克茜来到小马镇表演魔法。

其中有一个节目是开锁咒：舞台上有 \(n(n\le 300)\) 个盒子，每个盒子中有一把钥匙，对于每个盒子而言有且仅有一把钥匙能打开它。初始时，崔克茜将会随机地选择 \(k\) 个盒子用魔法将它们打开。崔克茜想知道最后所有盒子都被打开的概率，你能帮助她回答这个问题吗？

Solution

这 gay 题。

把 \(i\) 连向 \(a_i\) ，就成了若干简单环。只要最开始打开一个环内任何一个点，就可以打开整个环。

令每个环大小为 \(size[i]\) ，数量为 \(cnt\) ，那么问题就变成了，\(cnt\) 堆物品，每堆有 \(size[i]\) 个，选出 \(k\) 个，求每一堆都至少有一个被选出的概率。

然后就可以 dp 了。\(dp[i][j]\) 表示前 \(i\) 堆，选了 \(j\) 个。转移见代码。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

template <class T> void read(T &x) {
	x = 0; bool flag = 0; char ch = getchar(); for (; !isdigit(ch); ch = getchar()) if (ch == 45) flag = 1;
	for (; isdigit(ch); ch = getchar()) x = x * 10 + ch - 48; if (flag) x = -x;
}

#define N 301
#define rep(i, a, b) for (int i = (a); i <= (b); i++ )

int a[N], siz[N];
double f[N][N], c[N][N];
bool vis[N];

int main() {
	int T; read(T);
	rep(i, 0, 300) {
		c[i][0] = c[i][i] = 1;
		rep(j, 1, i - 1) c[i][j] = c[i - 1][j] + c[i - 1][j - 1];
	}
	while (T--) {
		int n, K, cnt = 0; read(n), read(K);
		rep(i, 1, n) read(a[i]);
		memset(vis, 0, sizeof vis);
		rep(i, 1, n) if (!vis[i]) {
			int j = i, sum = 0;
			while (!vis[j]) sum++, vis[j] = 1, j = a[j];
			siz[cnt++] = sum;
		}
		memset(f, 0, sizeof f), f[0][0] = 1;
		rep(i, 0, cnt - 1) rep(j, 0, K) if (fabs(f[i][j]) > 1e-8) rep(k, 1, min(siz[i], K - j))
			f[i + 1][j + k] += f[i][j] * c[siz[i]][k];
		printf("%.5lf\n", f[cnt][K] / c[n][K]);
 	}
	return 0;
}