传球游戏

Description

小 \(\mathrm{y}\) 痴迷于玩游戏。

班队课上文艺委员小 \(\mathrm{y}\) 组织大家坐成一圈玩传球游戏，每个人都可以把球向左或者向右传。当然每个同学对于自己左右的伙伴喜爱程度可能不一样，所以拿到球之后往两边传的概率也不一样。最后一个被传到球的人被认为是胜利者。作为游戏的组织者，小 \(\mathrm{y}\) 想知道选定自己的某个死党作为游戏的开始者时，自己的胜率是多少。

Input

输入文件solve.in包含多组数据。

第一行包含一个整数 ，表示数据组数。

每组数据第一行包含两个整数 \(N,K\) ，表示游戏人数（小 \(\mathrm{y}\) 位置为 \(N\) ）以及小 \(\mathrm{y}\) 死党的位置。接下来是 \(N\) 行，每行包含一个实数 \(P_i\) ，表示第 \(i\) 个人传球给自己右边概率（小 \(\mathrm{y}\) 组织大家按编号逆时针坐成一圈）。

Output

输出文件为game.out

对于每组数据，输出小 \(\mathrm{y}\) 的胜率，保留 \(9\) 位小数。

Sample

Sample Input

1
5 1
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50

Sample Output

0.007692308

Limit

\(20\%\) 的数据满足 \(N\le 3\) ；

\(70\%\) 的数据满足 \(T,N\le 100\) ；

\(100\%\) 的数据满足 \(T\le 10000,1<N\le 100\) 。

Solution

先摘抄一段题解。 考虑相邻的三个人 \(a,b,c\) ，假设球一开始在 \(a\) 手上，在球传到 \(a\) 的左边之前 \(a\) 通过 \(b\) 把球传给 \(c\) 的概率设为 \(x\) ；假设球在 \(b\) ，球传到 \(a\) 的左边之前传给 \(c\) 的概率为 \(y\) ，那么有 $$\begin{cases} x=p[a]\times y \ y=p[b]+(1-p[b])\times x \end{cases}$$ 于是我们可以解出 \(x\) 。同理可以解出球从 \(c\) 的手上不经过其他人传到 \(a\) 的概率。

这样一来我们就可以用这两个概率替换 \(a\) 往右传的概率和 \(c\) 往左传的概率，相当于把 \(b\) 删除。

不断删除点，直至最后剩下 \(1,n,n-1,k\) ，然后把 \(k\) 删除，答案就变成了 $$(1-p[K]) \times p[1] + p[K] \times (1-p[n - 1])$$

然后再特判一下 \(K=n-1\) 或 \(K=1\) 的情况就好了。

注意此题要使用long double。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 101
#define rep(i, a, b) for (int i = a; i <= b; i++)

int n, K;
long double dp[N][N], p[N], q[N];
double t;
int pre[N], nxt[N];

inline void del(int b) {
	int a = pre[b], c = nxt[b];
	long double pa = p[a], pb = p[b], pc = p[c];
	p[a] = pa * pb / (1 - pa * (1 - pb)), q[a] = 1 - p[a];
	q[c] = (1 - pc) * (1 - pb) / (1 - pb * (1 - pc)), p[c] = 1 - q[c];
	nxt[a] = c, pre[c] = a;
}

inline long double solve() {
	if(n <= 2) return 1;
	if(n == 3)return K == 1 ? p[1] : q[2];
	rep(i, 1, n) pre[i] = i - 1, nxt[i] = i + 1; pre[1] = n, nxt[n] = 1;
	if(K == 1) { rep(i, 2, n - 2) del(i); return p[1]; }
	if(K == n - 1) { rep(i, 2, n - 2) del(i); return q[n - 1]; }
	rep(i, 2, K - 1) del(i);
	rep(i, K + 1, n - 2) del(i);
	del(K);
	return q[K] * p[1] + p[K] * q[n - 1];
}

int main() {
	freopen("game.in", "r", stdin); freopen("game.out", "w", stdout);
	int T; cin >> T;
	while(T--) {
		scanf("%d%d", &n, &K);
		rep(i, 1, n) scanf("%lf", &t), p[i] = t, q[i] = 1 - t;
		printf("%.9lf\n", (double)solve());
	}
	return 0;
}