bzoj4709 [Jsoi2011]柠檬

Description

Flute很喜欢柠檬。它准备了一串用树枝串起来的贝壳，打算用一种魔法把贝壳变成柠檬。贝壳一共有\(N(1\le N\le 100000)\)只，按顺序串在树枝上。为了方便，我们从左到右给贝壳编号 \(1...N\) 。每只贝壳的大小不一定相同，贝壳 \(i\) 的大小为 \(s_i(1 \le s_i \le10000)\) 。变柠檬的魔法要求，Flute每次从树枝一端取下一小段连续的贝壳，并选择一种贝壳的大小 \(s_0\) 。如果 这一小段贝壳中 大小为 \(s_0\) 的贝壳有 \(t\) 只，那么魔法可以把这一小段贝壳变成 \(s_0t^2\) 只柠檬。Flute可以取任意多次贝壳，直到树枝上的贝壳被全部取完。各个小段中，Flute选择的贝壳大小 \(s_0\) 可以不同。而最终 Flute 得到的柠檬数，就是所有小段柠檬数的总和。Flute 想知道，它最多能用这一串贝壳变出多少柠檬。请你帮忙解决这个问题。

Input

第 \(1\) 行：一个整数，表示 \(N\)。
第 \(2 ... N + 1\) 行：每行一个整数，第 \(i + 1\) 行表示 \(s_i\) 。

Output

仅一个整数，表示 Flute 最多能得到的柠檬数。

Sample Input

5
2
2
5
2
3

Sample Output

21

Solution

考虑DP， \(f[i]\) 表示前 \(i\) 个的最大价值。

发现每一段的开头结尾应该是同一个颜色才会最优，否则不如单出来选。

对于 \(f[i]\)，假设之前存在一个点 \(j\)，这个点的颜色 \(a[j]\) 与 \(i\) 的颜色 \(a[i]\) 相等，那么我们可以让 \(f[i]\) 由 \(j\) 转移， \(s[i]\) 代表前 \(i\) 个数里 \(a[i]\) 出现的次数，价值为 $$f[j-1]+a[j]\times (s[i]-s[j]+1)^2$$

很可以斜率的样子欸...

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
#define N 100001
#define rep(i, a, b) for (int i = a; i <= b; i++)
#define ll long long
 
inline int read() {
    int x = 0, flag = 1; char ch = getchar(); while (!isdigit(ch)) { if (!(ch ^ '-')) flag = -1; ch = getchar(); }
    while (isdigit(ch)) x = (x << 1) + (x << 3) + ch - '0', ch = getchar(); return x * flag;
}
 
int n; 
ll a[N], f[N];
int cnt[N], s[N];
vector<int> q[N];
 
inline ll calc(int x, int y) { return f[x - 1] + a[x] * y * y; }
inline int k(int x, int y) {
    int l = 1, r = n, mid, ret = n + 1;
    while(l <= r) if(calc(x, (mid = l + r >> 1) - s[x] + 1) >= calc(y, mid - s[y] + 1)) ret = mid, r = mid - 1; else l = mid + 1;
    return ret;
}
 
int main() {
     
    n = read();
    rep(i, 1, n) {
        int t = a[i] = read(); cnt[t]++, s[i] = cnt[t];
        while(q[t].size() >= 2 && k(q[t][q[t].size() - 2], q[t][q[t].size() - 1]) <= k(q[t][q[t].size() - 1], i)) q[t].pop_back();
        q[t].push_back(i);
        while(q[t].size() >= 2 && k(q[t][q[t].size() - 2], q[t][q[t].size() - 1]) <= s[i]) q[t].pop_back();
        f[i] = calc(q[t][q[t].size()-1], s[i] - s[q[t][q[t].size()-1]] + 1);
    }
    cout << f[n];
    return 0;
}