十字星座

Description

星空中有 \(n\) 颗星星，有 \(n-1\) 对星星间被人为地连上了线，每条连线有各自的长度。所有星星被连成了一个整体。现在，你要在星系中找到一个最大的十字形星座。即，你要找到两条星星构成的路径，使得它们恰好有一颗公共星（这颗公共星不能是某条路径的端点），且两条路径的长度和最大。

Solution

很好的水题。
显然对于公共点 \(u\) 来说，只有下面两种可能的路径方案：

• \(u\) 与往下的路径最长的四个儿子组成一对路径。
  

• \(u\) 与往下的路径最长的三个儿子、以及 \(u\) 的父亲组成一对路径。
  

于是

• 第一遍 \(dfs\) ，处理出 \(u\) 往下的最长的四个路径，\(f[u][0],f[u][1],f[u][2],f[u][3]\) 。
• 第二遍 \(dfs\) ，处理出 \(u\) 往上走的最长路径 \(g[u]\) 。往上走有两种方案，要么继续往上走，要么走到 \(u\) 的某个兄弟。
• 第三遍 \(dfs\) 更新答案， \(ans = max(\sum _{i = 0} ^{3}f[u][i],\sum _{i = 0} ^{2}f[u][i] + g[u])\)

每个点最多被访问 \(3\) 次，所以复杂度为 \(O(n)\) 。
详见代码。不同的实现方法常数、代码复杂度差别较大。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define N 200001
#define rep(i, a, b) for (int i = a; i <= b; i++)
#define drp(i, a, b) for (int i = a; i >= b; i--)
#define fech(i, x) for (int i = 0; i < x.size(); i++)
#define ll long long

inline int read() {
    int x = 0, flag = 1; char ch = getchar(); while (!isdigit(ch)) { if (!(ch ^ '-')) flag = -1; ch = getchar(); }
    while (isdigit(ch)) x = (x << 1) + (x << 3) + ch - '0', ch = getchar(); return x * flag;
}

int n;
struct edge { int u, v, w; } eg[N]; int tot;
vector<int> tr[N]; int siz[N];
#define gte edge e = eg[tr[u][i]]
int f[N][6], g[N], ans = -1;

bool cmp(int x, int y) { return x > y; }
void dfsf(int u, int fr) {
    fech(i, tr[u]) {
        gte; if(!(e.v ^ fr)) continue;
        siz[u]++, dfsf(e.v, u), f[u][4] = f[e.v][0] + e.w, sort(f[u], f[u] + 5, cmp);
    }
}

void dfsg(int u, int fr) {
    fech(i, tr[u]) {
        gte; if(!(e.v ^ fr)) continue;
        if(f[u][0] ^ (f[e.v][0] + e.w)) g[e.v] = max(g[u], f[u][0]) + e.w;
        else g[e.v] = max(g[u], f[u][1]) + e.w;
        dfsg(e.v, u);
    }
}

void dfs(int u, int fr) {
    int t = 0; rep(i, 0, 3) t += f[u][i];
    if(siz[u] > 3) ans = max(ans, t);
    if(siz[u] > 2 && fr) ans = max(ans, t - f[u][3] + g[u]);
    fech(i, tr[u]) { gte; if(e.v ^ fr) dfs(e.v, u); }
}

int main() {
    n = read(); rep(i, 2, n) {
        int u = read(), v = read(), w = read();
        eg[++tot] = edge { u, v, w }; tr[u].push_back(tot);
        eg[++tot] = edge { v, u, w }; tr[v].push_back(tot);
    }
    dfsf(1, 0); dfsg(1, 0); dfs(1, 0); cout << ans; return 0;
}