全排列算法分析（原创方法/一般方法/字典序法）

全排列算法即对给定的一个序列，输出其所有不同的(n!种)排列，例如：

给定序列{1, 2, 3}有{1, 2, 3}、{1, 3, 2}、{2, 1, 3}、{2, 3, 1}、{3, 1, 2}、{3, 2, 1}这6种排列

好像很容易就能写出来，对于更长的序列也只是时间问题，最终肯定能够用笔一一列出来

但是要用程序实现的话，可能让人有点无从下手（乍看好像很简单），下面给出三种不同的解全排列的方法：

一.原创方法

所谓的原创方法就是不考虑算法的效率及其他因素，完全为了解决问题而自己去构造一种可行的方法（不一定好，但能解决问题）

首先，让我们想想自己是如何写出上面的6个序列的

1.确定第一位上的元素，有三种可能：1, 2, 3

2.确定第二位上的元素（以1为例），有两种可能：2, 3

3.确定第三位上的元素（以2为例），只有一种可能：3。这时我们就得到了一个序列：1, 2, 3

接下来，让我们理一理思路，想想用程序如何实现

对于一个长度为n的序列来说，计算机要做的就是

1.确定第(i)位上的元素，有(n + 1 - i)种可能，依次选择一种可能作为第i位的元素，保存当前已经确定的序列（长度为i）

2.确定第(i+1)位上的元素，有(n + 1 - i - i)种可能，依次选择一种可能作为第i + 1位的元素，保存当前已经确定的序列（长度为i + 1）

……

n.确定第(n)位上的元素，只有一种可能，将唯一的可能元素作为第n位上的元素，输出已经确定的序列

显然，这是一种递归的方法

Java代码如下：

public class FullPermutation {
	
	static int count = 0;

	/**
	 * 递归实现全排列
	 * <br />程序思路是：依次确定第一位到最后一位，与人的一般思维方式一致
	 */
	public static void main(String[] args) {
		String str = "13234";
		str = check(str);//去除重复元素
		fullPermutate(0, "", str);
		System.out.print(count);
	}
	
	/**
	 * @param index 本次调用确定第index位
	 * @param path 已经确定顺序的串
	 * @param string 待全排列的串
	 */
	static void fullPermutate(int index, String path, String string)
	{
		String restStr = strSub(string, path);
		if(index == string.length())
		{
			System.out.println(path + restStr);
			count++;//
			return;
		}
		else
		{
			for(int i = 0;i < string.length() - index;i++)
				fullPermutate(index + 1, path + restStr.charAt(i), string);
		}
	}
	
	/**
	 * @param full 完整的串
	 * @param part 部分子串
	 * @return rest 返回full与part的差集
	 */
	static String strSub(String full, String part)
	{
		String rest = "";
		
		for(int i = 0;i < full.length();i++)
		{
			String c = full.charAt(i) + "";
			if(!part.contains(c))
				rest += c;
		}
		
		return rest;
	}
	
	/**
	 * @param str 待检查的串
	 * @return 返回不含重复元素的串
	 */
	static String check(String str)
	{
		for(int i = 0;i < str.length() - 1;i++)
		{
			String firstPart = str.substring(0, i + 1);
			String restPart = str.substring(i + 1);
			str = firstPart + restPart.replace(str.charAt(i) + "", "");
		}
		
		return str;
	}
}

P.S.至于上面的代码中为什么要去除参数中的重复元素，是为了增强程序的鲁棒性，经典的排列问题是针对不含重复元素的序列而言的，含重复元素的序列我们将在后面展开讨论

二.一般算法（最常见的，也是最经典的全排列算法）

核心思想是交换，具体来说，对于一个长度为n的串，要得到其所有排列，我们可以这样做：

1.把当前位上的元素依次与其后的所有元素进行交换

2.对下一位做相同处理，直到当前位是最后一位为止，输出序列

[需要注意的一点：我们的思想是“交换”，也就是直接对原数据进行修改，那么在交换之后一定还要再换回来，否则我们的原数据就发生变化了，肯定会出错]

如果觉得上面的解释还是很难懂的话，那么记住这句话：核心思想就是让你后面的所有人都和你交换一遍（而你是一个指针，从前向后按位移动...）

C代码如下：（摘自http://www.cnblogs.com/nokiaguy/archive/2008/05/11/1191914.html）

#include <stdio.h>  

int n = 0;  

void swap(int *a, int *b) 
{     
    int m;     
    m = *a;     
    *a = *b;     
    *b = m; 
}  
void perm(int list[], int k, int m) 
{     
    int i;     
    if(k > m)     
    {          
        for(i = 0; i <= m; i++)             
            printf("%d ", list[i]);         
        printf("\n");         
        n++;     
    }     
    else     
    {         
        for(i = k; i <= m; i++)         
        {             
            swap(&list[k], &list[i]);             
            perm(list, k + 1, m);             
            swap(&list[k], &list[i]);         
        }     
    } 
} 
int main() 
{     
    int list[] = {1, 2, 3, 4, 5};     
    perm(list, 0, 4);     
    printf("total:%d\n", n);     
    return 0; 
}

原文也给出了一点解释，但如果还是不能理解的话，不妨输出一下运行轨迹，有助于理解，或者用笔画一画，多看几遍就明白了，直接看代码的话确实不好理解

三.字典序法

其实在本文开头给出的例子中就用了字典序，人写全排列或者其它类似的东西的时候会不自觉的用到字典序，这样做是为了防止漏掉序列

既然如此，用字典序当然也能实现全排列，对于给定序列{3, 1, 2}，我们理一理思路，想想具体步骤：

1.对给定序列做升序排序，得到最小字典序{1, 2, 3}

2.对有序序列求下一个字典序，得到{1, 3, 2}

3.如果当前序列没有下一个字典序（或者说当前序列是最大字典序，如{3, 2, 1}），则结束

显然字典序法的核心是：求下一个字典序，要充分理解这里的“下一个”，有两层意思：

1.该序列在字典中是排在当前序列后面的

2.该序列是字典中最靠近当前序列的

字典序有严格的数学定义，按照定义就能求出一个序列的下一个字典序，具体做法不在此展开叙述（下面的代码中有细致的解释）

Java代码如下：

public class DictionaryOrder {

	/**
	 * 按字典序输出全排列
	 * <br />按照字典序可以得到已知序列的下一个序列，可以用于不需要得到所有全排列的场合（例如数据加密）
	 */
	public static void main(String[] args) {
		int arr[] = new int[]{4, 3, 1, 2};
		/*
		boolean exist = nextPermutation(arr);
		if(exist)
		{
			for(int value : arr)
				System.out.print(value);
			System.out.println();
		}
		else
			System.out.println("当前序列已经是最大字典序列");
		*/
		///*
		//对给定序列排序（升序）
		sort(arr);
		for(int value : arr)
			System.out.print(value);
		System.out.println();
		//求全排列并输出
		int count = 1;//第一个已经在上面输出了
		while(nextPermutation(arr))
		{
			for(int value : arr)
				System.out.print(value);
			System.out.println();
			count++;
		}
		System.out.println("共 " + count + " 个");
		//*/
	}

	/**
	 * @param arr 当前序列
	 * @return 字典序中的下一个序列，没找到则返回false
	 */
	public static boolean nextPermutation(int[] arr)
	{
		int pos1 = 0, pos2 = 0;
		//1.从右向左找出满足arr[i] < arr[i + 1]的i
		//（就是找出相邻位中满足前者小于后者关系的前者的位置）
		boolean find = false;
		for(int i = arr.length - 2;i >= 0;i--)
			if(arr[i] < arr[i + 1])
			{
				pos1 = i;
				find = true;
				break;
			}
		if(!find)//若没找到，说明当前序列已经是最大字典序了
			return false;
		//2.从pos1向后找出最小的满足arr[i] >= arr[pos1]的i
		//（就是找出pos1后面不小于arr[pos1]的最小值的位置）
		int min = arr[pos1];
		for(int i = pos1 + 1;i < arr.length;i++)
		{
			if(arr[i] >= arr[pos1])
			{
				min = arr[i];
				pos2 = i;
			}
		}
		//3.交换pos1与pos2位置上的值
		int temp = arr[pos1];
		arr[pos1] = arr[pos2];
		arr[pos2] = temp;
		//4.对pos1后面的所有值做逆序处理（转置）
		int i = pos1 + 1;
		int j = arr.length - 1;
		for(;i < j;i++, j--)
		{
			temp = arr[i];
			arr[i] = arr[j];
			arr[j] = temp;
		}
		return true;
	}
	
	/**
	 * 对给定数组做升序排序（冒泡法）
	 * @param arr 待排序数组
	 */
	public static void sort(int[] arr)
	{
		for(int i = 0;i < arr.length - 2;i++)
			for(int j = 0;j < arr.length - i - 1;j++)
				if(arr[j] > arr[j + 1])
				{
					int temp = arr[j];
					arr[j] = arr[j + 1];
					arr[j + 1] = temp;
				}
	}
}

-------

算法细节就到这里，下面讨论几个无关紧要问题：

1.给定序列中存在重复元素

经典的全排列问题不讨论这个问题，但实际应用中可能会遇到，我们有两个选择：

i.对原数据（给定序列）进行处理，对于重复元素只保留一个，或者对重复元素做替换，例如对{1, 1, 2, 3, 2}，我们建立一张替换表，a = 1, b = 2，原数据处理结果为{1, a, 2, 3, b}，至此我们就消除了重复元素

ii.对算法做修改，检测重复元素并做相应处理，需要结合具体数据特征做处理

2.算法效率问题

如果复杂问题中需要用到全排列，那么不得不考虑算法效率问题了，上面给出的算法中，前两种时间复杂度相同，都是n层递归，每层n-i + 1个循环

第三种算法的时间复杂度主要集中在了排序上，如果给定序列已经有序，那么此时第三种算法无疑是最佳的

另外，还有一种新颖的全排列算法，有兴趣的话也可以试一试，原文链接：

http://supershll.blog.163.com/blog/static/37070436201171005758332/