AGC010 记录

赛次总结

整场是偏向博弈和构造的思维场，总体思维都较为巧妙。

A.Addition

题意

给定一个$n$个整数的数组$A$，每次可以删去一对奇偶性相同的$A_i,A_j$，再添加一项$A_i+A_j$。

判断是否能够通过若干次操作后使得数组只剩下一项。

【AC】

B.Boxes

题意

有$n$个箱子围成一圈，第$i$个箱子有$A_i$个石头。

每次可以选择箱子，箱子的编号为 $i$，然后对于每个 $j \in [1,N]$，将第 $(i+j)$ 个箱子移除 $j$ 个石头。

其中编号为 $n+k$ 的箱子，视为编号为 $k$ 的箱子。

如果箱子中石头的个数不足移除的个数，那么就不能进行这个操作。

题解

题目要求判断这个数组是否能是若干个循环的 $[1,n]$ 的数组相加而成的。

考虑对数组差分，会发现问题被转化为：差分数组是否是若干个循环 $1,1,-(n-1)$ 的数组的和的形式。

对于每个位置，解出 $-(n-1)$ 的个数。

$$-x(n-1)+k-x=dif$$

$$x=\frac{k-dif}{n}$$

需要保证的是每一次解出来的 $x$ 次数不能为负数，并且 $x$ 的总和必须要是用总数计算出来的次数。

【AC】 【Greedy(not AC)】

C.Clean

题意

给定一个$n$个节点的树，一开始第$i$号节点上有$A_i$个石头。

每次可以选择一对树叶，然后移除这两个节点路径所有节点上一个石头。

如果有路径上有节点没有石头，那么就不能进行这个操作。

判断是否可以通过若干次操作后，移除所有节点的石头。

题解

对于每一个节点 $u$，路径是由两部分组成：经过节点 $u$ 通往子树的路径 $x_u$，经过节点 $u$ 通往父节点的路径数 $y_u$。

记 $sum$ 为 $u$ 节点的子节点的通往节点 $u$ 的路径和 $\sum y_v$，就是子节点中还未匹配的路径。

因为这些路径如何匹配都需要经过节点 $u$，所以可以列出以下方程。

$$2x_u+y_u=sum$$

$$x_u+y_u=a[u]$$

那么对于每一个节点都是需要满足这个条件，并且有以下若干种情况需要特判：

• 根节点不能有上传的路径，即 $y_root=0$
• 每一个子节点上传的路径不能超过 $a_u$
• 如果只存在两个解，那么无法找到适合的根节点，直接判断 $a[1]=a[2]$

【AC】

D.Decrementing

题意

$A$ 和 $B$ 可以轮流对一个最大公约数为 $1$ 的数组进行操作：

每次可以选择一个不小于 $2$ 的数，然后使其$-1$，然后再让所有的数除去他们的最大公因子。

如果有一个人无法进行操作，那么就输掉比赛，每个人都绝顶聪明，问哪一个人可以赢得比赛。

题解

考虑问题的简化版。

如果没有除去 $\gcd$ 的操作，那么当前的状态只和所有数到 $1$ 的操作次数的奇偶性有关，并且不会存在干扰状态的操作。

首先因为每一次操作完后的数组的最大公因子都为 $1$，所以可以判定是由至少一个奇数和若干个偶数组成的。

对于原题，原先的必胜态，是至少一个奇数和奇数个偶数组成情况，那么只需要对偶数进行操作，然后使对手处于至少两个奇数和偶数个偶数的必败态，并且没有方法改变当前的必败态。

必败态，是至少一个奇数和偶数个偶数的组成情况，如果当前只有一个奇数，那么就可以对奇数进行操作，这样可能可以改变当前的状态，但是如果不止一个奇数，那么对手一定在当前操作后继续制造出一个奇数，那么就一直存在于必败态中。

【AC】

• 参考题解：Atcoder AGC010 题解

E.Rearranging

题意

小 $A$ 和 小 $B$ 在分别对一个数组进行操作。

小 $A$ 可以任意将数组打乱，小 $B$ 可以任意将一对相邻互质的数互换位置。

小 $A$ 希望最后数组能字典序尽量大，小 $B$ 希望最后数组能字典序尽量小。

询问最后数组会变成什么样子。

题解