有个表叫杨表（上）
《浅谈杨氏矩阵在信息学竞赛中的应用 袁方舟》膜拜有感
前方高能，非战斗人员请撤离（都是很干的数学概念）
前言
杨表 (Young tableaux)，又叫杨氏矩阵，是一个啥都能掺一脚的代数结构。
为了方便讨论，先来点定义。
杨图：令 \(\lambda = (\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)\) 满足 \(\lambda_1\ge\lambda_2\ge\ldots\lambda_m\ge 1,n=\sum \lambda_i\)。一个形状为 \(\lambda\) 的杨图是一个表格，第 \(i\) 行有 \(\lambda_i\) 个方格，其坐标分别为 \((i,1)(i,2)\ldots(i,\lambda_i)\)。下图为 \(n=9,\lambda=(4,2,2,1)\) 的杨图。
半标准杨表：将杨图填上数字，满足每行数字单调不减，每列数字单调递增。
标准杨表：将 \(1,2,\ldots,n\) 填入杨图，满足每行、每列数字单调递增。下图为 \(n=9,\lambda=(4,2,2,1)\) 的一种标准杨表。
斜杨图：令 \(\lambda = (\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m),\mu=(\mu_1,\mu_2,\ldots,\mu_{m'})\)，则形状为 \(\lambda/\mu\) 的斜杨图为杨图 \(\lambda\) 中扣去杨图 \(\mu\) 后剩下的部分。下图为 \((9, 7, 5, 1)/(5, 3, 2)\) 的斜杨图。
斜半标准杨表、斜标准杨表：猜都猜得到，不浪费时间了。
杨表的插入操作 / RSK 算法
RSK 算法包括了插入和删除。删除操作其实就是插入反过来，不影响理解杨表就不写了。
想要插入 \(x\) 时，从第一行开始，在当前行中找最小的比 \(x\) 大的数字 \(y\) (upperbound)（其实大于 \(x\) 还是大于等于 \(x\) 要看具体情况），交换 \(x,y\)，转到下一行继续操作；若所有数字比 \(x\) 小则把 \(x\) 放在该行末尾并退出（如果超出了杨图的行数，那么杨图行数加 \(1\)）
举个 \(\alpha\) 粒子，将 \(3\) 插入下图半标准杨表：
第一行找到 \(5\)，变成：
第二行找到 \(6\)，变成：
第三行找不到比 \(6\) 大的数字，放到末尾：
可以证明这样操作后仍然满足半标准杨表的定义。
上代码！
vector<int> a[N];
void insert(int x) {
for (int i = 0;; i++) {
auto it = upper_bound(a[i].begin(), a[i].end(), x);
if (it == a[i].end()) {
a[i].push_back(x);
return;
}
swap(x, *it);
}
}
杨表与 LIS
LIS (Longest Increasing Subsequence) 就是广为人知的最长上升子序列（有时是不下降）。杨表之所以能和 LIS 有关，是因为杨表的插入操作，只看其中一行的话，正好是 dp 求 LIS 的算法。（虽然这是废话）
拓展一下，如果要求 \(k\) 个不相交的 LIS，它们的长度之和最大为杨图前 \(k\) 行长度之和，即 \(\lambda_1+\lambda_2+\ldots+\lambda_k\)。不过要注意，杨表前 \(k\) 行并不能告诉我们 LIS 有哪些数。（类似 dp 求 LIS 后那个 dp 数组也无法告诉我们 LIS 有哪些数）
举个 \(\alpha\) 粒子，如果把 \([1,5,3,2,6,7,4]\) 插入到杨表中得到：
显然 \(1,2,4,7\) 不是 LIS，LIS 应该是 \(1,5,6,7/1,3,6,7/1,2,6,7\)。不过长度是相同的。
这题就是求 k-LIS 的题了。但是 \(k\) 没有限制，如果维护的杨表行数太大，朴素的插入算法 \(O(n^2 \log n)\) 肯定过不了。这就需要一个杨表的性质：如果把比较运算反过来（大于变小于等于），插入操作后的杨图和原来的杨图是转置关系（但是杨表和杨表不是转置的，只是形状转置），具体可以看看这题的题解。
话说回来，由于杨表和转置杨表的关系，我们可以得出一个结论，如果杨表的第一行数字个数是最长上升子序列长度，那么第一列数字个数是最长不上升子序列长度。如果某题限制了最长上升子序列长为 \(\alpha\)，最长不上升子序列长为 \(\beta\)，我们就可以把它和行数为 \(\alpha\)，列数为 \(\beta\) 的杨表联系起来。（现在还没用，一一对应的关系在下文会讲）
杨表与排列
我们可以将排列的数字按顺序插入到空杨表中，这样就会得到一个标准杨表。但是这会出现两个排列对应一个杨表的情况，比如排列 \([2,1,3]\) 和排列 \([2,3,1]\) 都会得到杨表 \(\left[\begin{array}{c}1 & 3 \\ 2 \end{array}\right]\)，出大问题。
考虑一个排列对应两个杨表，每插入一个数字到杨表 \(A\)，我们在杨表 \(B\) 对应位置记录这个数字的下标（下标从 \(1\) 开始）。
可以证明 \(B\) 也是个标准杨表。
举个 \(\alpha\) 粒子，对于排列 \([2,3,1]\)，插入 \(2\) 得到：
插入 \(3\) 得到：
插入 \(1\) 得到：
而 \([2,1,3]\) 会得到：
这样，我们就把一个排列和两个标准杨表一一对应了起来。
杨表和对合排列
对合排列是一种特殊的排列，把对合排列当成个置换后，自己乘自己等于单位置换。好理解一点就是 a[a[i]]=i。
比如 \(\left[\begin{array}{c}1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3\end{array}\right]\) 就是个对合置换。
为什么要讲对合排列呢，因为把对合排列对应的两个标准杨表是相等的。这意味着一个对合置换和一个杨表是一一对应的关系。
上篇只是个无聊的铺垫，在下篇中我会好好讲钩子公式和其他组合数学相关内容的。
