ural 1568 Train Car Sorting 题解

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题目大意：给 \(n\) 个数的排列（互不相同），一次操作可以选择一个子序列，将子序列按照原来顺序移动至最前，其余元素按照原来顺序放在最后。问最小操作次数和一种可行的操作方案

input:
6
6 5 2 4 1 3

output:
3
6 5 2 4 1 3
6 4 1 5 2 3
6 1 2 3 4 5
1 2 3 4 5 6

一开始看的是 CTSC 2008 曹钦翔《数据结构的提炼与压缩》这篇论文。结果按照他的算法写，一直wa，花了不少时间，太气人了（也可能是我的问题因为我没看论文里的证明）。最后在discuss里才看到正解

网上似乎没什么题解，那就我来写一个吧

算法如下：

1. 若序列已经递增，停止算法
2. 把序列分割成尽可能少的递增子序列，满足子序列内相邻两个数都相差 1。比如 \([6,5,2,4,1,3]\) 的分割为 \([6][5][2,3][4][1]\)。
3. 将子序列排序（以第一个元素为关键字）。我们把它称为原序列的有序分割。比如 \([6][5][2,3][4][1]\) 排序后为 \([1][2,3][4][5][6]\)
4. 将位置在奇数的子序列合并在一起，记为集合 \(A\)，位置在偶数的子序列合并在一起，记为集合 \(B\)。比如 \([1][2,3][4][5][6]\) 中奇数位的 \([1][4][6]\) 合并为 \(A=\{1,4,6\}\)，偶数位是 \([2,3][5]\) 合并为 \(B=\{2,3,5\}\)
5. 回到原序列，把在集合 \(A\) 中的元素看作操作里的子序列，进行一次操作，回到第 1 步。比如 \([6,5,2,4,1,3]\) 中操作子序列 \([6,4,1]\) 变为 \([6,4,1,5,2,3]\)，接下来操作 \([6,1,2,3]\) 变为 \([6,1,2,3,4,5]\)，接下来操作 \([1,2,3,4,5]\) 变为 \([1,2,3,4,5,6]\)，停止算法

上述算法每一步操作是 \(O(n\log n)\) 的，足以过这题。当然事实上，先记录一下 \(pos[a[i]]=i\)，即 \(i\) 在 \(a[1..n]\) 中的位置。如果 \(pos[i]>pos[i+1]\) 表示数字 \(i\) 在数字 \(i+1\) 的后面，我们就在 \(i\) 和 \(i+1\) 中间断开。这样就直接得到第 3 步得到的有序分割，可以 \(O(n)\) 处理每一步操作

又由于操作数为 \(O(\log n)\)，总复杂度 \(O(n\log n)\)

那么为什么这么做是正确的呢？或者说怎么证明操作数 \(O(\log n)\)？感性地来说，就是第 3 步得到的有序分割（比如 \([1][2,3][4][5][6]\)），因为所有奇数位将会排到偶数位之前，所以可以看作奇数位和它后面相邻的子序列进行了合并。比如 \([1]\) 一定排到 \([2,3]\) 之前，那么在下次操作后 \([1,2,3]\) 一定是作为一个子序列出现的，\([4]\) 和 \([5]\) 同理。这样，有序分割的大小就会小一半。这个操作看似是归并排序反过来的操作，但是本质和归并排序是一样的思想，真是神奇

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define repeat(i,a,b) for(int i=(a),_=(b);i<_;i++)
#define repeat_back(i,a,b) for(int i=(b)-1,_=(a);i>=_;i--)
const int N=200010; typedef long long ll; ll read(){ll x; if(scanf("%lld",&x)!=1)exit(0); return x;}
int n,a[N],b[N],f[N],A[N],pos[N];
// f[i]标记了a[i]是有序分割中第几个子序列的元素，pos含义见题解
void print(){
	repeat(i,1,n+1)
		printf("%d%c",a[i]," \n"[i==n]);
}
int getcnt(){ // 得到有序分割的大小
	repeat(i,1,n+1)pos[a[i]]=i;
	int cnt=1;
	repeat(i,1,n+1){
		if(i>1 && pos[i-1]>pos[i])cnt++;
		f[pos[i]]=cnt;
	}
	return cnt;
}
void work(){ // 进行一次操作
	getcnt();
	int t=0;
	repeat(i,1,n+1)if(f[i]%2==1)b[++t]=a[i];
	repeat(i,1,n+1)if(f[i]%2==0)b[++t]=a[i];
	copy(b+1,b+n+1,a+1);
}
void Solve(){
	n=read();
	repeat(i,1,n+1){
		A[i]=a[i]=read();
	}
	int ans=0;
	while(getcnt()!=1){
		work();
		ans++;
	}
	copy(A+1,A+n+1,a+1);
	printf("%d\n",ans);
	print();
	repeat(i,0,ans){
		work();
		print();
	}
}
signed main(){
	//freopen("data.txt","r",stdin);
	int T=1; //T=read();
	repeat(ca,1,T+1){
		Solve();
	}
	return 0;
}