平衡多叉树--B-Tree（B树）

　　关键词：M阶、B树、分裂、合并

　　前言：

　　　　B-树，即为B树。因为B树的原英文名称为B-tree，B-tree就是指的B树。

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1、B树定义：

　　对于B树，我们一般描述成M（M>2）阶B树（这里的M阶指的是树的所有节点中的子树个数的最大值）。对于B树来说，它必须满足如下的性质：

　　性质：

　　（1）节点的性质：

• • 所有的叶子节点都在同一层；
  • 每个节点由若干个指针和记录组成。其中，每个节点中记录的个数比指针的个数少1个，指针将记录一一隔开。

　　（2）指针的性质：

• • 每一个指针指向一个子节点；
    
  • 每个节点最多有M个指针；
  • 非叶子节点的根节点最少有两个分支；
  • 叶子节点最少包含一个记录和两个空指针，叶节点的指针均为NULL；
  • 非根非叶节点至少有ceil(M/2)个分支；（ceil(M/2)>=3）（分析：当这个值等于2，那么就变成二叉树；当这个值等于1，那么就变成链表。所以这个值必须大于等于3）
  • 对于任意一个节点：ceil(M/2) <= d <= m。 （从上一点可以推导出来）（d：表示每个节点的度）

　　（3）记录的性质：

• 每个记录由[key, data]组成，同时每个记录按key的大小从坐到右非递减排列；
  
• 对于节点中任何一个记录，其左边的指针指向的子节点上的所有记录的key值都小于当前记录的，右边指针的都大于当前记录的;
• 对于任意一个节点：ceil(M/2)-1 <= k_count <= m-1。（k_count：表示每个节点的记录个数）

一棵B树如下：

 

图片引自：http://blog.codinglabs.org/articles/theory-of-mysql-index.html

2、B树的特性总结：

（1）每个节点都存储了[key, data]

（2）任何一个关键字出现且只出现在一个节点中；

（3）搜索有可能在非叶子节点结束；

（4）由于M/2的限制，在插入节点时，如果节点已满，需要将节点分裂为两个各占M/2的节点；删除节点时，需将两个不足M/2的兄弟节点合并；（插入、删除操作时需要解决的问题）；

（5）B树同红黑树一样都是自平衡的树。

3、B树的搜索：

（1）搜索流程：

①从根节点开始，对节点内的关键字按照顺序继续进行等值判断；

②如果命中则结束，当前这个关键字对应的记录便是要查找的；

③如果没有命中，则进入查询关键字所属范围的儿子节点内，重复①的操作，直到所对应的儿子指针为空，或已经是叶子节点。此时则说明树中不存在这个关键字。

（2）B-Tree上查找算法的伪代码如下：

（代码引自：http://blog.codinglabs.org/articles/theory-of-mysql-index.html）

1. BTree_Search(node, key) {
2.     if(node == null) return null;
3.     foreach(node.key)
4.     {
5.         if(node.key[i] == key) return node.data[i];
6.         if(node.key[i] > key) return BTree_Search(point[i]->node);
7.     }
8.     return BTree_Search(point[i+1]->node);
9. }
10. data = BTree_Search(root, my_key);

4、B树的插入、删除：

前言：修复方式之分裂、合并、转移：

由于插入、删除数据记录会破坏B-Tree的性质，因此在插入删除时，需要对树进行一个分裂、合并、转移等操作以保持B-Tree性质。

①分裂：拆分当前节点的中间节记录到上层，与上层的节点的记录进行合并操作；

②合并：拆分上层节点的记录下来与当前记录进行合并；

③转移：需要不断将当前记录与其的相邻下级子节点中的记录进行交换，直到当前记录处于叶子节点中。（如果操作的节点记录不在叶子节点，那么就需要进行转移操作）

 

（1）插入：B树的插入总是在叶子节点上

如果插入新的数据记录到某个节点之后，节点的记录个数大于等于M，那么需要进行分裂操作。

（2）删除：

①如果节点不在叶子节点上，那么需要把它替换到叶子节点上。然后对叶子节点执行删除操作；

②如果删除当前节点的某个记录之后，节点的记录个数小于ceil(M/2)，那么需要进行合并操作；

③如果合并之后，上级节点记录个数小于等于ceil(M/2)，那么此时首先判断当前节点的兄弟节点的记录个数是否在小于ceil(m/2)，如果不是，那么取兄弟节点的一个记录与上级节点进行合并。否则，只能从上级节点的上级节点拉取一个记录下来进行合并。

 

注意：

①插入、删除的示例详见：https://www.cnblogs.com/yfzhou/p/10290006.html具

②体情况具体分析。遇到连锁反应（eg：分裂之后有需要分裂），就继续处理呗。

5、B树的节点的存储：

　　虽然B-Tree中不同节点存放的key和指针可能数量不一致，但是每个节点的域和上限是一致的，所以在实现中B-Tree往往对每个节点申请同等大小的空间。

 

 

引用： 

https://www.cnblogs.com/yfzhou/p/10290006.html

https://blog.csdn.net/maihilton/article/details/79900770

http://blog.codinglabs.org/articles/theory-of-mysql-index.html