平衡二叉树

 关键字：单支二叉树、平衡二叉树、旋转、平衡因子

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1、定义：

　　①任意一个节点的左右子树高度差的绝对值不超过的1；

　　②任意节点的左右子树都是平衡二叉树的二叉查找树。

　　

　　注意：平衡二叉树只是对一种数据结构的描述。而其实现就有很多种：AVL树、红黑树、B树、B+树、B*树等

 

2、为什么要提出平衡二叉树这个概念：

（1）首先需要先了解一下“单支二叉树”：

　　①定义：每一节点都只有左孩子节点或者都只有右孩子节点的树；

　　eg：单支二叉树

　　

　　②缺点：单支二叉树会让树失去本身身为树的优势。因为对于单支二叉树来说，其搜索的时间复杂度是同链表一样的，是O(n)级别的，而不再是树本身的O(logn)级别。

 

（2）提出平衡二叉树，正是为了解决当树变成如下“单支二叉树”的情况。

分析：对于一颗普通的二叉树，如果没有加以限制，那么在一定的情况之下就会变成“单支二叉树”。因此为了防止二叉树变成“单支二叉树”，便提出了“平衡二叉树”这个概念。在平衡二叉树中，由于没有节点的左右子树的高度差的绝对值不会超过1，所以此时，就能够保证二叉树不会变成“单支二叉树”。

 

3、平衡二叉树的判断标准--平衡因子：

（1）定义：平衡因子 = abs(左子树的高度 - 右子树的高度)

（2）作用：判断一棵树是否是平衡二叉树的判断标准。

 

4、平衡二叉树的特性--自平衡

（1）定义：平衡二叉树在因添加或者删除节点而导致树失去平衡之后，能够在有限的步骤内恢复平衡的一种特性。

　　注意：具有自平衡特性的平衡二叉树也称为自平衡二叉树。eg：AVL树、红黑树、B树、B+树等

 

（2）如何实现自平衡：

　　注意：对于不同的平衡二叉树，其平衡调整策略是不同的。

　　①AVL树：平衡因子、旋转；

　　②红黑树：旋转、变色；

　　③B树：分裂、合并。