JZOJ #4724 斐波那契 （平衡规划实现根号算法）

题目描述：

$F$表示斐波那契数列，给定原始数列，每次操作对$[l,r]$内的数加上$F[i-l+1](l\leq{i}\leq{r})$，或询问区间$[l,r]$的和。

解题思路：

我们发现对于修改操作可以$O(1)$实现。只要用一新数组$D$记录，对于$[l,r]$的修改，将$D[l]+=1,D[r+1]-=F[r-l+2],D[r+2]-=F[r-l+1]$，然后询问的时候令$D[i]+=D[i-1]+D[i-2]$。$D$就是总的修改和。然而询问要$O(N)$。我们怎样才能平衡修改和询问呢。这要用到平衡规划的思想， 每修改$k$次才重构一次$D$数组。对于一次询问，答案就是上一次重构的$D$数组和未将$D$操作的修改的总贡献。$k$取$\sqrt{N}$的话，复杂度是$O(\sqrt{N}M)$。

代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;

const int N = 1e5 + 10, mo = 1e9 + 9;
int n, m, a[N], f[N], suf[N], sua[N], que[N][2], tot, siz, d[N];

void init() {
    f[1] = f[2] = 1;
    for (int i = 3; i <= n; i ++) f[i] = (f[i - 1] + f[i - 2]) % mo;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) suf[i] = (suf[i - 1] + f[i]) % mo;
}

void rebuild() {
    memset(d, 0, sizeof d);
    for (int i = 1; i <= tot; i ++) {
        int l = que[i][0], r = que[i][1];
        (d[l] += 1) %= mo;
        (d[r + 1] += mo - f[r - l + 2]) %= mo;
        (d[r + 2] += mo - f[r - l + 1]) %= mo;
    }
    for (int i = 1; i <= n; i ++) (d[i] += (d[i - 1] + d[i - 2]) % mo) %= mo, (a[i] += d[i]) %= mo, sua[i] = (sua[i - 1] + a[i]) % mo;
    tot = 0;
}

void query(int l, int r) {
    int ans = (sua[r] - sua[l - 1] + mo) % mo;
    for (int i = 1; i <= tot; i ++) {
        int x = que[i][0], y = que[i][1];
        if (r < x || l > y) continue;
        (ans += (suf[min(y, r) - x + 1] - suf[max(x, l) - x] + mo) % mo) %= mo;
    }
    printf("%d\n", ans);
}

int main() {
    scanf("%d %d", &n, &m);
    init();
    siz = sqrt(m);
    for (int i = 1; i <= n; i ++) scanf("%d", &a[i]), sua[i] = (sua[i - 1] + a[i]) % mo;
    while (m --) {
        int p, l, r;
        scanf("%d %d %d", &p, &l, &r);
        if (p == 1) {
            que[++ tot][0] = l, que[tot][1] = r;
            if (tot == siz) rebuild();
        } else query(l, r);
    }
    return 0;
}