导数——平均变化率与瞬时变化率
本讲教育信息】 一. 教学内容: 导数——平均变化率与瞬时变化率
二. 本周教学目标: 1、了解导数概念的广阔背景,体会导数的思想及其内涵. 2、通过函数图象直观理解导数的几何意义.
三. 本周知识要点: (一)平均变化率 1、情境:观察某市某天的气温变化图
2、一般地,函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率 平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”,曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”.
(二)瞬时变化率——导数
1、曲线的切线 如图,设曲线c是函数的图象,点是曲线 c 上一点作割线PQ,当点Q 沿着曲线c无限地趋近于点P,割线PQ无限地趋近于某一极限位置PT我们就把极限位置上的直线PT,叫做曲线c在点P 处的切线
割线PQ的斜率为,即当时,无限趋近于点P的斜率. 2、瞬时速度与瞬时加速度 1)瞬时速度定义:运动物体经过某一时刻(某一位置)的速度,叫做瞬时速度. 2)确定物体在某一点A处的瞬时速度的方法: 要确定物体在某一点A处的瞬时速度,从A点起取一小段位移AA1,求出物体在这段位移上的平均速度,这个平均速度可以近似地表示物体经过A点的瞬时速度. 当位移足够小时,物体在这段时间内的运动可认为是匀速的,所得的平均速度就等于物体经过A点的瞬时速度. 我们现在已经了解了一些关于瞬时速度的知识,现在已经知道物体做直线运动时,它的运动规律用函数表示为s=s(t),也叫做物体的运动方程或位移公式,现在有两个时刻t0,t0+Δt,现在问从t0到t0+Δt这段时间内,物体的位移、平均速度各是: 位移为Δs=s(t0+Δt)-s(t0)(Δt称时间增量) 平均速度 根据对瞬时速度的直观描述,当位移足够小,现在位移由时间t来表示,也就是说时间足够短时,平均速度就等于瞬时速度. 现在是从t0到t0+Δt,这段时间是Δt. 时间Δt足够短,就是Δt无限趋近于0.当Δt→0时,位移的平均变化率无限趋近于一个常数,那么称这个常数为物体在t= t0的瞬时速度 同样,计算运动物体速度的平均变化率,当Δt→0时,平均速度无限趋近于一个常数,那么这个常数为在t= t0时的瞬时加速度. 3、导数 设函数在(a,b)上有定义,.若无限趋近于0时,比值 无限趋近于一个常数A,则称f(x)在x=处可导,并称该常数A为函数在处的导数,记作. 几何意义是曲线上点()处的切线的斜率. 导函数(导数):如果函数在开区间内的每点处都有导数,此时对于每一个,都对应着一个确定的导数,从而构成了一个新的函数,称这个函数为函数在开区间内的导函数,简称导数,也可记作.
【典型例题】 例1、水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙,t s后容器甲中水的体积(单位:),计算第一个10s内V的平均变化率.
解:在区间[0,10]上,体积V的平均变化率为
即第一个10s内容器甲中水的体积的平均变化率为.
例2、已知函数,,分别计算在区间[-3,-1],[0,5]上函数及的平均变化率. 解:函数在[-3,-1]上的平均变化率为
在[-3,-1]上的平均变化率为
函数在[0,5]上的平均变化率为
在[0,5]上的平均变化率为
例3、已知函数,分别计算函数在区间[1,3],[1,2],[1,1.1],[1,1.001]上的平均变化率. 解:函数在区间[1,3]上的平均变化率为
函数在[1,2]上的平均变化率为
函数在[1,1.1]上的平均变化率为
函数在[1,1.001]上的平均变化率为
例4、物体自由落体的运动方程s=s(t)=gt2,其中位移单位m,时间单位s,g=9.8 m/s2. 求t=3这一时段的速度. 解:取一小段时间[3,3+Δt],位置改变量Δs=g(3+Δt)2-g·32=(6+Δt)Δt,平均速度g(6+Δt) 当Δt无限趋于0时,无限趋于3g=29.4 m/s.
例5、已知质点M按规律s=2t2+3做直线运动(位移单位:cm,时间单位:s), (1)当t=2,Δt=0.01时,求. (2)当t=2,Δt=0.001时,求. (3)求质点M在t=2时的瞬时速度. 分析:Δs即位移的改变量,Δt即时间的改变量,即平均速度,当Δt越小,求出的越接近某时刻的速度. 解:∵=4t+2Δt ∴(1)当t=2,Δt=0.01时,=4×2+2×0.01=8.02 cm/s. (2)当t=2,Δt=0.001时,=4×2+2×0.001=8.002 cm/s. (3) Δt0, (4t+2Δt)=4t=4×2=8 cm/s
例6、曲线的方程为y=x2+1,那么求此曲线在点P(1,2)处的切线的斜率,以及切线的方程. 解:设Q(1+,2+),则割线PQ的斜率为:
斜率为2 ∴切线的斜率为2. 切线的方程为y-2=2(x-1),即y=2x.
【模拟试题】 1、若函数f(x)=2x2+1,图象上P(1,3)及邻近点Q(1+Δx,3+Δy), 则=( ) A. 4 B. 4Δx C. 4+2Δx D. 2Δx 2、一直线运动的物体,从时间到时,物体的位移为,那么时,为( ) A. 从时间到时,物体的平均速度; B. 在时刻时该物体的瞬时速度; C. 当时间为时物体的速度; D. 从时间到时物体的平均速度 3、已知曲线y=2x2上一点A(1,2),求(1)点A处的切线的斜率.(2)点A处的切线方程. 4、求曲线y=x2+1在点P(-2,5)处的切线方程. 5、求y=2x2+4x在点x=3处的导数. 6、一球沿一斜面自由滚下,其运动方程是s=s(t)=t2(位移单位:m,时间单位:s),求小球在t=5时的瞬时速度 7、质点M按规律s=2t2+3做直线运动(位移单位:cm,时间单位:s),求质点M在t=2时的瞬时速度.
【试题答案】 1、B 2、B 3、解:(1)时,k=
∴点A处的切线的斜率为4. (2)点A处的切线方程是y-2=4(x-1)即y=4x-2 4、解:时,k=
∴切线方程是y-5=-4(x+2),即y=-4x-3. 5、解:Δy=2(3+Δx)2+4(3+Δx)-(2×32+4×3)=2(Δx)2+16Δx,=2Δx+16 ∴时,y′|x=3=16 6、解:时,瞬时速度v=(10+Δt)=10 m/s. ∴瞬时速度v=2t=2×5=10 m/s. 7、解:时,瞬时速度v==(8+2Δt)=8cm/s |