【fjwc2015】世界树

【题目描述】

奥丁杀死的巨人伊米尔后，从伊米尔的尸体上生长出来一株巨大的梣树，它是整个宇宙的核心，被称为世界之树，这个巨木的枝干构成了整个世界，它被神秘的奥术力量所守护。

奥丁发现，世界树的每个节点至多有两棵子树，其蕴含的奥术力量是子树奥术力量的最大值+1，如果一个节点没有子树，其奥术力量为1，这些节点被称为“源”。

世界树在悠长的岁月里形成了奇妙的魔法平衡，具体来说，它的左子树与右子树的奥术力量的差的绝对值不会超过1。若一个节点只有一棵子树（不妨设为左子树），则右子树的奥术力量视为0。

现在奥丁想知道，在n个节点的世界树中，最高和最低的两个“源”的深度差最大是多少？

【输入格式】

第一行一个整数T，表示数据组数。

以下T行，每行一个整数n表示世界树的节点数。

【输出格式】

T行，每行一个整数表示任意两个“源”的奥术力量的差的最大值。

【样例输入】

2

5

12345

【样例输出】

1

9

【数据范围】

对于10%的数据，n <= 10

对于40%的数据，n <= 2^31 – 1

对于60%的数据，n <= 10^100

对于80%的数据，n <= 10^1000

对于100%的数据，1 <= n <= 10^10000, T <= 50

前八个点时间限制2000ms，最后两个数据点时间限制6000ms

构造题

来来来我们来找规律

数学归纳法

height为k的树可以由height为k-1和height为k-2的树构出    递推式包含斐波拉契数列。高度为h的世界树，至少包含S(h) = fib(h+3) – 1个节点。

然后

左为height，右为最小和最大高度

1　　1 1

2　　2 2

3　　2 3

4　　3 4

5　　3 5

6　　4 6

7　　4 7

8　　5 8

聪明的你一定已经发现ans=(height-1)/2

 

矩阵乘法快速幂

判断n处在哪两个Fibonacci数之间，更准确地说是找到最大的h，满足fib(h+3) – 1 <= n，本题答案即为[h/2]