欧几里得算法和扩展欧几里得算法 数论基础

　　这两个算法可以说是OI里数学模块最重要的基础了（如果位运算不算数学的话）。

一.欧几里得算法（Euclidean Algorithm）

　　模板水题：LOJ P1212　　（LOJ真是个好东西啊）

　　在学习一种算法前，我认为我们首先应该知道，这种算法是要解决什么问题的。

　　小学就已经学过了两个数的最大公约数，而欧几里得算法就是为了求出两个数a、b的最大公约数的，这个最大公约数可以表示为gcd(a,b)。

　　欧几里得算法又称辗转相除法，这个名字已经揭示了它的主要思想：辗转相除！

　　它的函数代码只有一行，简单便捷，复杂度O(log n)：

 

    int gcd(int a,int b){
        return b?gcd(b,a%b):a;
    }

 

　　不要小看这短短的一行代码，其中蕴含了无尽的人生智慧（/滑稽）

　　因为代码很短，所以算法的过程我就不赘述了，主要就是递归，可以从代码中看出来。

　　如果赶时间（比如距离noip就差一天了），可以忽略掉证明只记代码，但是我认为证明还是必要的，证明在这里：证明

 

二.扩展欧几里得算法

　　首先我们要理解一个定理：

　　　　贝祖定理：若存在a、b是整数，则必存在整数x、y，满足ax+by=gcd(a,b)。

　　证明在这里写得比较清楚：证明

　　需要耐心理解。

　　贝祖定理

　　证明：

　　　　当 b=0 时，gcd(a,b)=a，此时 x=1 , y=0

　　　　当 b!=0 时，

　　　　　　设 ax₁+by₁=gcd(a,b)=gcd(b,a%b)=bx₂+(a%b)y₂

　　　　　　又因 a%b=a-a/b*b

　　　　　　则 ax₁+by₁=bx₂+(a-a/b*b)y₂

  ax₁+by₁=bx₂+ay₂-a/b*by₂

　　　　　　　　　　 =ay₂+bx₂-b*a/b*y₂

　　　　　　　　　　 =ay₂+b(x₂-a/b*y₂)

　　　　　　解得 x1=y2 , y1=x2-a/b*y2

　　　　因为当 b=0 时存在 x , y 为最后一组解

　　　　而每一组的解可根据后一组得到

　　　　所以第一组的解 x , y 必然存在

　　　　证毕。

　　显然，因为当b=0时，x=1，y=0，这时x和y是已知的，所以我们很容易想到通过递归来求解。

　　不断返回下一层的解，来得到这一层的解，最终回溯回来，得解。

　　因为是借助欧几里得算法进行回溯的，所以复杂度也是O(log n)。

　　基本理解扩展欧几里得算法后，我们就可以来看看例题了。

 

　　例题：洛谷oj P1082

　　同余定理：给定一个正整数$m$，如果两个整数$a$和$b$满足$a-b$能够被$m$整除，即$(a-b)/m$得到一个整数，那么就称整数$a$与$b$对模$m$同余，记作$a\ ≡\ b\ (\ mod \ m \ )$。对模$m$同余是整数的一个等价关系。

　　其实就是$a\ mod\ m\ =\ b\ mod\ m$。

　　当$b>=1$时，因为$1\ mod\ b\ =\ 1$，所以$ax\ ≡\ 1(mod b)$就是$ax mod b=1$。其实就差不多是方程$ax\ +by\ =\ 1$，y可能为负数，所以我们在做exgcd后还要加个答案处理。

　　ac代码：

#include <cstdio>
using namespace std;

long long a,b;

long long x,y;
inline void exgcd(long long a,long long b){
    if (b==0){
        x=1,y=0;
        return ;
    }
    else exgcd(b,a%b);
    long long x1=x;
    x=y,y=x1-a/b*y;
    return ;
}

int main(){
    scanf("%lld%lld",&a,&b);
    exgcd(a,b);
    while (x<0)
        x+=b;
    x%=b;
    printf("%lld",x);
    return 0;
}