Lec2-KMP算法学习

之前上数据结构课时没有学到，现在补起来。

 Ref:严蔚敏版《数据结构》上的讲解（浅显易懂）

 

http://saturnman.blog.163.com/blog/static/5576112010969957130/

http://www.ics.uci.edu/~eppstein/161/960227.html

 

 

子串的定位操作Index(S,T,pos)通常称作串的模式匹配(其中T称为模式串)。传统的字符串匹配算法如下：

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

b

a

n

a

n

a

n

o

b

a

n

o

index=0

X

index=1

X

index=2

n

a

n

X

index=3

X

index=4

n

a

n

o

index=5

X

index=6

n

X

index=7

X

index=8

X

index=9

X

index=10

n

X

index=11

X

由于在比较过程中指针 i 多次回溯， 所以时间复杂度在最坏时时O(m*n)。

KMP算法可以将传统字符串匹配算法的复杂度（O(m*n)）提升到O(m+n)，其中n为target（主串）的长度，m为 pattern（子串）的长度。空间复杂度为O(m)。

1.KMP的原理

其改进在于，每当一趟匹配过程中出现字符比较不等时，不需回溯 i 指针，而是利用已经得到的“部分匹配”的结果将模式向右“滑动”尽可能远的一段距离后，继续进行比较。

 

 

2. next函数

 next函数给出了在比较到当前字符时，如果不匹配，前面的字符应相当于已经比较过的位数。

 当匹配过程中出现不相等时，如果不要回溯指针，而是从此位开始继续比较，则需要next函数来知指明要和模式串（子串）的哪一位进行比较。

例如对于模式串acae，next(4)=2.  即当第四位匹配失败时，一定满足... a_k-3 a_k-2 a_k-1 = a₁ a₂ a₃ ...(字符串下标从1开始)

而acae，满足a(2)=a(0) ，则next(3)=1;若为abcd，则next(3)=0,表示从子串的第一个a开始比较。(所有下标包括next函数均从1开始标号)

a  c  a  a  c  a  e

|  |  |   ！

a  c  a  e

            |->遇到不匹配（a!=e)，从不匹配位继续比较，设当前母串标号为k，子串标号为j，当满足a_k-i... a_k-2 a_k-1  = a₁ a₂ a₃ ...a_i时，next(j)=i。而a_k-i... a_k-2 a_k-1 a_k-1 一定是母串和子串的已匹配部分，故a_j-i... a_j-2 a_j-1 a_{j-1 =}  a_k-i... a_k-2 a_k-1 a_k-1

此例中则有next(4)=2.

 

 

 

 

 

 

 

 

3. next函数的计算

 KMP算法是在已知模式串的next函数的基础上执行的，那么，如何求得模式串的next函数值呢？

从上述讨论可见，此函数值仅取决于模式串本身而和相匹配的主串无关。我们可以从分析其地你故意出发用递推的方法求得next函数值。

由定义得知

　　　　next[1]=0

设next[j]=k,这表明在模式串中存在下列关系：

　　　　‘p₁...p_k-1' = 'p_j-k+1...p_j-1'

其中k为满足1<k<j的某个值，并且不可能存在k'>k满足此等式。此时next[j+1]=?可能有两种情况：

 (1)若p_k=p_j,则表明在模式串中

　　　　‘p₁...p_k' = 'p_j-k+1...p_j'

 并且不可能存在k'>k满足登时，这就是说next[j+1]=k+1,即

　　　　next[j+1]=next[j]+1

(2) 若p_k!=p_j,则表明在模式串中

 　　　　‘p₁...p_k' != 'p_j-k+1...p_j'

下面部分是关键！

 此时可把求next函数值的问题看成是一个模式匹配的问题，整个模式串既是主串又是模式串，而在当前的匹配中已有

 （放在下一篇中）

 

 

此时只能在pattern前k+1个子符组所的子串中找到相应的ｎｅｘｔ函数，h=ｎｅｘｔ(k),如果此时pattern[h+1]==pattern[j+1],则overlay(j+1)=h+1否则重复(2)过程.