前缀和（preSum）算法

一维数组求区间和：

 

preSum 方法能快速计算指定区间段 【i，j】的元素之和。它的计算方法是从左向右遍历数组，当遍历到数组的i位置时，preSum 表示 i 位置左边的元素之和。

 

 

 推导过程引用自：https://leetcode-cn.com/problems/range-sum-query-immutable/solution/jian-dan-wen-ti-xi-zhi-fen-xi-qian-tan-q-t2nz/

 

 

算法思路：

1.设原数组nums大小为N，定义一个大小为N+1的数组preum，preSum[i] 表示该元素左边所有元素之和（不包含 i 元素）。遍历原数组，利用 preSum[i + 1] = nums[i] + preSum[i]

   每次对nums数组的[0,j)范围求和，赋值给presum[i]。

2.利用  sum(i, j) = preSum[j + 1] - preSum[i] 快速求区间和。

 

定义N+1大小的presum数组是因为，可以方便地求区间和，不需要对i=0的特殊情况进行处理。

 

构造时时间复杂度和空间复杂度都是O（n），查询O（n）。

 

 

class NumArray {

public:

    vector<int> presum;

    NumArray(vector<int>& nums)

　 {

        int N = size(nums);

        presum.resize(N+1);

        for(int i = 0;i<N;i++)

        {

            presum[i+1] = presum[i] +nums[i];

        }

    }

    

    int sumRange(int i, int j) {

        return presum[j+1] - presum[i];

    }

};

参考：https://leetcode-cn.com/problems/range-sum-query-immutable/solution/presum-qian-zhui-he-xiang-xi-jiang-jie-b-nh23/

 

二维矩阵版：

 

同样的思路，不同的是

1.presum数组的推导方式，利用：

  preSum[i+1][j+1] = preSum[i][j+1]+preSum[i+1][j]−preSum[i][j]+matrix[i][j]

2.求任意子矩阵的和：

sum([row1,col1]~[row2,col2])  = preSum[row2+1][col2+1]−preSum[row2+1][col1]−preSum[row1][col2+1]+preSum[row1][col1]

同样利用了  加一  的方法避免对特殊情况进行处理。