DP Intro - Tree DP
二叉苹果树
题目
有一棵苹果树,如果树枝有分叉,一定是分2叉(就是说没有只有1个儿子的结点)
这棵树共有N个结点(叶子点或者树枝分叉点),编号为1-N,树根编号一定是1。
我们用一根树枝两端连接的结点的编号来描述一根树枝的位置。下面是一颗有4个树枝的树
2 5
/ /
3 4
/ /
1
现在这颗树枝条太多了,需要剪枝。但是一些树枝上长有苹果。
给定需要保留的树枝数量,求出最多能留住多少苹果。
输入格式
第1行2个数,N和Q(1<=Q<= N,1<N<=100)。
N表示树的结点数,Q表示要保留的树枝数量。接下来N-1行描述树枝的信息。
每行3个整数,前两个是它连接的结点的编号。第3个数是这根树枝上苹果的数量。
每根树枝上的苹果不超过30000个。
输出格式
一个数,最多能留住的苹果的数量。
样例输入
5 2
1 3 1
1 4 10
2 3 20
3 5 20
样例输出
21
------------------------------
分析:因为树是二叉的,所以状态转移方程很容易写出,
f[i][m]表示第i个节点下,共保留m个树枝的最大苹果数目。
ch[i,L]表示i树左边的枝条集合, ch[i,R]表示i树右边的枝条集合
f[ch[i,L],n]表示在i树左边的枝条集合中选取n个枝条的最大苹果数目
f[ch[i,R],n]表示在i树右边的枝条集合中选取n个枝条的最大苹果数目
方程:f[i][m]=max{
f[ch[i,L],n]+f[ch[i,R],m-n]]} (0<=n<=m) 其中L,R为i的左右子树
公式太抽象,举个例子
对于如下苹果树
有7个节点a,b,c,d,e,f,g; 有6条边,边的权重分别为5,24,20,30,21,27
求f[a][4],即只保留4个枝条,最多留下多少苹果?
根据公式,f[a][4] = max
{
f[ch[a,L],3]+f[ch[a,R],1],
f[ch[a,L],2]+f[ch[a,R],2],
f[ch[a,L],1]+f[ch[a,R],3]
}
其中f[ch[a,L],3]=f[b,2]
+ 5 (枝条ab的权重);
所以
f[a][4] = max
{
5+f[b][2]+24,
5+f[b][1]+24+f[c][1],
5+24+f[c][2]
}
f[b][2]=50,f[b][1]=30,f[c][1]=27,f[c][2]=48
f[a][4] =f[ch[a,L],2]
+ f[ch[a,R],2]=
5+f[b][1]+24+f[c][1]=86;
题目2:看守道路
一个城堡的所有的道路形成一个n个节点的树,如果在一个节点上放上一个士兵,那么和这个节点相连的边就会被看守住,问把所有边看守住最少需要放多少士兵?
这个题目,是典型的树形动态规划
求解:
dproot[i]表示以i为根的子树,在i上放置一个士兵,看守住整个子树需要多少士兵。
all[i]表示看守住整个以i为根的子树需要多少士兵。(不一定要在i上,放置士兵)
状态转移方程:
叶子节点:dproot[k]=1; all[k]=0;
all[k]=0表示要看守住含有叶子节点道路,一定可以不用在叶子节点放置守卫
非叶子节点:
dproot[i]=1+∑all[j](j是i的儿子);
all[i]=min(dproot[i],∑dproot[j](j是i的儿子));
这个题目还是比较简单的,如果把题目中树改为看守一个n个节点的图呢?
posted on 2017-05-26 16:58 fanbird2008 阅读(120) 评论(0) 编辑 收藏 举报