P1073 [NOIP2009 提高组] 最优贸易 (最短路/分层图)

[NOIP2009 提高组] 最优贸易

题目描述

$C $国有$ n $个大城市和$ m$ 条道路，每条道路连接这 $n$个城市中的某两个城市。任意两个城市之间最多只有一条道路直接相连。这 $m$ 条道路中有一部分为单向通行的道路，一部分为双向通行的道路，双向通行的道路在统计条数时也计为 $1$条。

$C$国幅员辽阔，各地的资源分布情况各不相同，这就导致了同一种商品在不同城市的价格不一定相同。但是，同一种商品在同一个城市的买入价和卖出价始终是相同的。

商人阿龙来到 $C$ 国旅游。当他得知同一种商品在不同城市的价格可能会不同这一信息之后，便决定在旅游的同时，利用商品在不同城市中的差价赚回一点旅费。设 $C$ 国 n 个城市的标号从 $1~ n$，阿龙决定从 $1$号城市出发，并最终在 $n$ 号城市结束自己的旅行。在旅游的过程中，任何城市可以重复经过多次，但不要求经过所有 $n$ 个城市。阿龙通过这样的贸易方式赚取旅费：他会选择一个经过的城市买入他最喜欢的商品――水晶球，并在之后经过的另一个城市卖出这个水晶球，用赚取的差价当做旅费。由于阿龙主要是来 $C$ 国旅游，他决定这个贸易只进行最多一次，当然，在赚不到差价的情况下他就无需进行贸易。

假设 $C$国有 $5$个大城市，城市的编号和道路连接情况如下图，单向箭头表示这条道路为单向通行，双向箭头表示这条道路为双向通行。

假设 $1~n$ 号城市的水晶球价格分别为 $4,3,5,6,1$。

阿龙可以选择如下一条线路：$1$->$2$->$3$->$5$，并在 $2 $号城市以$ 3$ 的价格买入水晶球，在 $3$号城市以$5$的价格卖出水晶球，赚取的旅费数为 2。

阿龙也可以选择如下一条线路$1$->$4$->$5$->$4$->$5$，并在第$1 $次到达$ 5$号城市时以$1 $的价格买入水晶球，在第 $2$ 次到达$4$ 号城市时以$6$ 的价格卖出水晶球，赚取的旅费数为$5$。

现在给出 $n $个城市的水晶球价格，$m$ 条道路的信息（每条道路所连接的两个城市的编号以及该条道路的通行情况）。请你告诉阿龙，他最多能赚取多少旅费。

输入格式

第一行包含 $2$ 个正整数$n$和 $m$，中间用一个空格隔开，分别表示城市的数目和道路的数目。

第二行 n 个正整数，每两个整数之间用一个空格隔开，按标号顺序分别表示这 n 个城市的商品价格。

接下来 $m$ 行，每行有$ 3 $个正整数$x,y,z$，每两个整数之间用一个空格隔开。如果 $z=1$，表示这条道路是城市$ x $到城市$ y $之间的单向道路；如果$ z=2$，表示这条道路为城市$x $和城市$y $之间的双向道路。

输出格式

一 个整数，表示最多能赚取的旅费。如果没有进行贸易，则输出 $0$。

样例 #1

样例输入 #1

5 5 
4 3 5 6 1 
1 2 1 
1 4 1 
2 3 2 
3 5 1 
4 5 2

样例输出 #1

5

提示

【数据范围】

输入数据保证 $1$ 号城市可以到达$n$号城市。

对于 10%的数据，$1≤n≤6$。

对于 30%的数据，$1≤n≤100$。

对于 50%的数据，不存在一条旅游路线，可以从一个城市出发，再回到这个城市。

对于 100%的数据，$1≤n≤100000$，$1≤m≤500000$，$1≤x$，$y≤n$，$1≤z≤2$，$1≤$各城市

水晶球价格$≤100$。

NOIP 2009 提高组 第三题

代码

常规最短路解法

// Problem: 最优贸易
// Contest: AcWing
// URL: https://www.acwing.com/problem/content/description/343/
// Memory Limit: 64 MB
// Time Limit: 1000 ms
// Created Time: 2022-07-12 14:59:10
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)
 
//fw
#include<bits/stdc++.h>
#define zp ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0); cout.tie(0);
#define pii pair <int, int>
#define pll pair <ll, ll>
#define endl '\n'
#define il inline
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define lc u<<1
#define rc u<<1|1
using namespace std;
typedef long long ll;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int N=1e5+10,M=2e6+5;
int hs[N],ht[N],e[M],ne[M],w[M],idx;
int n,m;
int dmin[N],dmax[N];
bool st[N];
int q[N];
void spfa(int h[],int dist[],int type)//因为可能会重复更新所以不能用dijkstra
{
	int hh=0,tt=1;
	if(type==0)//求最小值
	{
		memset(dist,0x3f,sizeof dmin);
		dist[1]=w[1];
		q[0]=1;
	}
	else//求最大值
	{
		memset(dist,-0x3f,sizeof dmax);
		dist[n]=w[n];
		q[0]=n;
	}
 
	while(hh!=tt)
	{
		int t=q[hh++];
		if(hh==N)hh=0;
		st[t]=false;
		
		for(int i=h[t];~i;i=ne[i])
		{
			int j=e[i];
			if((type==0&&dist[j]>min(dist[t],w[j]))||(type==1&&dist[j]<max(dist[t],w[j])))
			{
				if(type==0)dist[j]=min(dist[t],w[j]);
				else dist[j]=max(dist[t],w[j]);
				
				if(!st[j])
				{
					q[tt++]=j;
					if(tt==N)tt=0;
					st[j]=true;
				}
			}
		}
 
	}
}
void add(int h[],int a,int b)
{
	e[idx]=b;
	ne[idx]=h[a];
	h[a]=idx++;
}
int main()
{
     cin>>n>>m;
 
     for(int i=1;i<=n;i++)cin>>w[i];
 
      memset(hs,-1,sizeof hs);//正向图，1-i求最小值
      memset(ht,-1,sizeof ht);//反向图 求i-n最大值，建反图是为了以n为起点走到i
 
      while(m--)
      {
      	int a,b,t;
      	cin>>a>>b>>t;
      	add(hs,a,b);add(ht,b,a);
      	if(t==2)
      	{
      		add(hs,b,a);add(ht,a,b);
      	}
      	
      }	
 
      spfa(hs,dmin,0);//求最小值
      spfa(ht,dmax,1);//求最大值
      
      int res=0;
      for(int i=1;i<=n;i++)res=max(res,dmax[i]-dmin[i]);//枚举买入和卖出的分界点
      
      cout<<res<<endl;
    return 0;
}

分层图解法 参考自AcWing 341. 最优贸易 分层图解法+SPFA

// Problem: P1073 [NOIP2009 提高组] 最优贸易
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P1073
// Memory Limit: 125 MB
// Time Limit: 1000 ms
// Created Time: 2022-07-12 15:51:43
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)
 
//fw
#include<bits/stdc++.h>
#define zp ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0); cout.tie(0);
#define pii pair <int, int>
#define pll pair <ll, ll>
#define endl '\n'
#define il inline
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define lc u<<1
#define rc u<<1|1
using namespace std;
typedef long long ll;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int N=3e5+10,M=6e6+5;
int h[N],e[M],ne[M],w[M],idx;
int dist[N];
bool st[N];
int n,m;
void add(int a,int b,int c=0)
{
	e[idx]=b;
	w[idx]=c;
	ne[idx]=h[a];
	h[a]=idx++;
	
}
void spfa()
{
	memset(dist,-0x3f,sizeof dist);
	queue<int>q;
	q.push(1);
	st[1]=true;
	dist[1]=0;
	while(q.size())
	{
		int t=q.front();
		q.pop();
		st[t]=false;
		
		for(int i=h[t];~i;i=ne[i])
		{
			int j=e[i];
			if(dist[j]<dist[t]+w[i])
			{
				dist[j]=dist[t]+w[i];
				if(!st[j])
				{
					st[j]=true;
					q.push(j);
				}
			}
		}
	}
}
int main()
{
 
    memset(h,-1,sizeof h);
    cin>>n>>m;
 
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
    	int c;
    	cin>>c;
    	add(i,i+n,-c);//建立买入边
 
    	add(i+n,i+2*n,c);//建立卖出边
    }  	
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
    	int x,y,z;
    	cin>>x>>y>>z;
 
		add(x,y),add(x+n,y+n),add(x+2*n,y+2*n);//在同一层图内边权为0
    	if(z==2)
    	{
    	
    		add(y,x);add(y+n,x+n),add(y+2*n,x+2*n);
    	}
    	
    }
    spfa();//求最长路即可
    cout<<dist[3*n];
    return 0;
}