P2573 [SCOI2012]滑雪 （最小生成树）

题目

[SCOI2012]滑雪

题目描述

a180285 非常喜欢滑雪。他来到一座雪山，这里分布着 \(m\) 条供滑行的轨道和 \(n\) 个轨道之间的交点（同时也是景点），而且每个景点都有一编号 \(i\space (1 \le i \le n)\) 和一高度 \(h_i\)。

a180285 能从景点 \(i\) 滑到景点 \(j\) 当且仅当存在一条 \(i\) 和 \(j\) 之间的边，且 \(i\) 的高度不小于 \(j\)。与其他滑雪爱好者不同，a180285 喜欢用最短的滑行路径去访问尽量多的景点。如果仅仅访问一条路径上的景点，他会觉得数量太少。

于是 a18028 5拿出了他随身携带的时间胶囊。这是一种很神奇的药物，吃下之后可以立即回到上个经过的景点（不用移动也不被认为是 a180285 滑行的距离）。

请注意，这种神奇的药物是可以连续食用的，即能够回到较长时间之前到过的景点（比如上上个经过的景点和上上上个经过的景点）。 现在，a180285站在 \(1\) 号景点望着山下的目标，心潮澎湃。他十分想知道在不考虑时间胶囊消耗的情况下，以最短滑行距离滑到尽量多的景点的方案（即满足经过景点数最大的前提下使得滑行总距离最小）。你能帮他求出最短距离和景点数吗？

输入格式

输入的第一行是两个整数 \(n,m\)。
接下来一行有 \(n\) 个整数 \(h_i\)，分别表示每个景点的高度。

接下来 \(m\) 行，表示各个景点之间轨道分布的情况。每行三个整数 \(u,v,k\)，表示编号为 \(u\) 的景点和编号为 \(v\) 的景点之间有一条长度为 \(k\) 的轨道。

输出格式

输出一行，表示 a180285 最多能到达多少个景点，以及此时最短的滑行距离总和。

样例 #1

样例输入 #1

3 3 
3 2 1 
1 2 1 
2 3 1 
1 3 10

样例输出 #1

3 2

提示

【数据范围】
对于 $ 30% $ 的数据，$ 1 \le n \le 2000 $；
对于 $ 100% $ 的数据，$ 1 \le n \le 10^5 $。

对于所有的数据，保证 $ 1 \le m \le 10^6 $ , $ 1 \le h_i \le 10^9 $ ，$ 1 \le k_i \le 10^9 $。

思路

1.将所有有用的边按照到达点的高度为第一关键字，权值为第二关键字排序
2.先bfs出所有可达的点并标记
3.在这些点中跑最小生成树

代码

// Problem: [SCOI2012]滑雪与时间胶囊
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P2573
// Memory Limit: 4 MB
// Time Limit: 20568000 ms
// Created Time: 2022-07-10 10:29:15
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

//fw
#include<bits/stdc++.h>
#define zp ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0); cout.tie(0);
#define pii pair <int, int>
#define pll pair <ll, ll>
#define endl '\n'
#define il inline
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define lc u<<1
#define rc u<<1|1
using namespace std;
typedef long long ll;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int N=1e5+10,M=2e6+10;
int hei[N],e[M],h[M],ne[M],w[M],idx;
int n,m,cnt,ecnt;
bool vis[N];
int f[N];
struct edg{
	int a,b,w,height;
}edge[M];
ll ans=0;
int find(int x) {return f[x]==x?x:f[x]=find(f[x]);}
void add(int a,int b,int c)
{
	e[idx]=b;
	w[idx]=c;
	ne[idx]=h[a];
	h[a]=idx++;
}
bool cmp(edg a,edg b)
{
    if(a.height==b.height)return a.w<b.w;
    else return a.height>b.height;
}
void bfs()
{
    cnt=0;
    queue<int> q;
    q.push(1);
    vis[1]=true;
    cnt++;
    while(q.size())
    {
        int t=q.front();
        q.pop();

      for(int i=h[t];~i;i=ne[i])
		{
			int j=e[i];
			if(!vis[j])
			{
				q.push(j);
				vis[j]=true;
				cnt++;
			}
		}
    }
}
void kruskal()
{
    ans=0;
    int now=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) f[i]=i;
    sort(edge,edge+ecnt,cmp);

    for(int i=0;i<ecnt;i++)
    {
        int a=edge[i].a,b=edge[i].b,w=edge[i].w;
  
        if(!(vis[a]&&vis[b])) continue;
        if(find(a)!=find(b)) 
        {
            ans+=w;
            now++;
            f[find(b)]=find(a);
        }
    }
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
 	memset(h,-1,sizeof h);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",hei+i);
  
    for(int i=0;i<m;i++)
    {
        int a,b,c;
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
        if(hei[a]>=hei[b]) edge[ecnt++]={a,b,c,hei[b]},add(a,b,c);
        if(hei[b]>=hei[a]) edge[ecnt++]={b,a,c,hei[a]},add(b,a,c);
    }
    bfs();
    cout<<cnt<<' ';

    kruskal();
    cout<<ans;
    return 0;
}