倍增求LCA

【模板】最近公共祖先（LCA）

题目描述

如题，给定一棵有根多叉树，请求出指定两个点直接最近的公共祖先。

输入格式

第一行包含三个正整数 \(N,M,S\)，分别表示树的结点个数、询问的个数和树根结点的序号。

接下来 \(N-1\) 行每行包含两个正整数 \(x, y\)，表示 \(x\) 结点和 \(y\) 结点之间有一条直接连接的边（数据保证可以构成树）。

接下来 \(M\) 行每行包含两个正整数 \(a, b\)，表示询问 \(a\) 结点和 \(b\) 结点的最近公共祖先。

输出格式

输出包含 \(M\) 行，每行包含一个正整数，依次为每一个询问的结果。

样例 #1

样例输入 #1

5 5 4
3 1
2 4
5 1
1 4
2 4
3 2
3 5
1 2
4 5

样例输出 #1

4
4
1
4
4

提示

对于 \(30\%\) 的数据，\(N\leq 10\)，\(M\leq 10\)。

对于 \(70\%\) 的数据，\(N\leq 10000\)，\(M\leq 10000\)。

对于 \(100\%\) 的数据，\(N\leq 500000\)，\(M\leq 500000\)。

样例说明：

该树结构如下：

第一次询问：\(2, 4\) 的最近公共祖先，故为 \(4\)。

第二次询问：\(3, 2\) 的最近公共祖先，故为 \(4\)。

第三次询问：\(3, 5\) 的最近公共祖先，故为 \(1\)。

第四次询问：\(1, 2\) 的最近公共祖先，故为 \(4\)。

第五次询问：\(4, 5\) 的最近公共祖先，故为 \(4\)。

故输出依次为 \(4, 4, 1, 4, 4\)。

2021/10/4 数据更新 @fstqwq：应要求加了两组数据卡掉了暴力跳。

代码

// Problem: P3379 【模板】最近公共祖先（LCA）
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P3379
// Memory Limit: 512 MB
// Time Limit: 2000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

//fw
#include<bits/stdc++.h>
#define pii pair <int, int>
#define pll pair <ll, ll>
#define endl '\n'
#define il inline
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define lc u<<1
#define rc u<<1|1
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=5e5+5,M=2*N;//开双向边
int h[N],e[M],ne[M],idx;//前向星
int fa[N][25],q[N];//fa[i][j]从i开始跳2^j步跳到的点
int n,m,root;
int depth[N];//每个点的深度，用于把a,b跳到同一层
void add(int a,int b)//前向星加边
{
	e[idx]=b;
	ne[idx]=h[a];
	h[a]=idx++;
}
void bfs()
{
	memset(depth,0x3f,sizeof depth);//深度初始化
	depth[0]=0;depth[root]=1;//定义0号点为哨兵，防止跳过头
	q[0]=root;
	int hh=0,tt=0;
	while(hh<=tt)//宽搜计算深度
	{
		int t=q[hh++];
		for(int i=h[t];~i;i=ne[i])
		{
			int j=e[i];
			if(depth[j]>depth[t]+1)
			{
				depth[j]=depth[t]+1;
				q[++tt]=j;
				
				fa[j][0]=t;//倍增求fa，与st表类似
				for(int k=1;k<=20;k++)
				{
					fa[j][k]=fa[fa[j][k-1]][k-1];
				}
			}
		}
	}
}
int lca(int a,int b)
{
	if(depth[a]<depth[b])swap(a,b);//用a表示较深的点
	for(int k=20;k>=0;k--)//把a和b跳到同一层
	{
		if(depth[fa[a][k]]>=depth[b])
		a=fa[a][k];
	}
	if(a==b)return a;//如果跳到同一层后相等，则说明这个点就是最近公共祖先
	
	for(int k=20;k>=0;k--)//如果不相等则，两个点一起往上跳
	{
		if(fa[a][k]!=fa[b][k])//如果跳过头或者两个点的父节点是一个点则不跳
		{
			a=fa[a][k];
			b=fa[b][k];
		}
	}
	return fa[a][0];//返回父节点即lca
}
int main()
{

	memset(h,-1,sizeof h);//前向星初始化
	
	cin>>n>>m>>root;
	
	for(int i=1;i<=n-1;i++)
	{
		int a,b;
		cin>>a>>b;
		add(a,b),add(b,a);
	}
	
	bfs();//预处理出depth和fa
	
	while(m--)//处理每组询问
	{
		int a,b;
		cin>>a>>b;
		cout<<lca(a,b)<<endl;
	}
	
  return 0;
}