【数论】【筛法求素数】【欧拉函数】bzoj2818 Gcd

gcd(x,y)(1<=x,y<=n)为素数(暂且把(x,y)和(y,x)算一种) 的个数

<=> gcd(x/k,y/k)=1，k是x的质因数 的个数

<=> Σφ(x/k) (1<=x<=n,k是x的质因子)

这样的复杂度无法接受，

∴我们可以考虑枚举k，计算Σφ(q/k) (k是n以内的质数，q是n以内k的倍数)，即Σ[φ(1)+φ(2)+φ(3)+...+φ(p)] (p=n/k)

介个phi的前缀和可以预处理粗来。

但是(x,y)和(y,x)并不同，所以在计算前缀和的时候，对于φ(x) (x≠1)，要乘2再累加，即Σ[φ(1)+φ(2)*2+φ(3)*2+...+φ(p)*2] (p=n/k)。

∴对每个n以内的素数，我们可以O(1)地得到其对答案的贡献。

∴时间复杂度花费在筛素数和预处理phi上，为O(n*log(log(n)))或O(n)[线性筛]。

#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
int phi[10000001],n;
bool unPrime[10000001];
ll ans,sum[10000001];
void Shai_Prime()
{
    unPrime[1]=1;
    for(ll i=2;i<=n;i++) if(!unPrime[i])
      {
          ans+=sum[n/i];
          for(ll j=i*i;j<=n;j+=i)
          unPrime[j]=1;
      }
}
void phi_table()
{
    phi[1]=1;//规定phi(1)=1; 
    for(int i=2;i<=n;i++)
      if(!phi[i])//若i是质数(类似筛法的思想) 
        for(int j=i;j<=n;j+=i)//i一定是j的质因数 
          {
            if(!phi[j]) phi[j]=j;
            phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
          }
}
void init_sum()
{
    sum[1]=phi[1];
    for(int i=2;i<=n;i++) sum[i]=(ll)(phi[i]<<1)+sum[i-1];
}
int main()
{
    scanf("%d",&n); phi_table(); init_sum(); Shai_Prime();
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}