【最小乘积生成树】bzoj2395[Balkan 2011]Timeismoney

 设每个点有x,y两个权值，求一棵生成树，使得sigma(x[i])*sigma(y[i])最小。

 

设每棵生成树为坐标系上的一个点，sigma(x[i])为横坐标，sigma(y[i])为纵坐标。则问题转化为求一个点，使得xy=k最小。即，使过这个点的反比例函数y=k/x最接近坐标轴。

 

Step1:求得分别距x轴和y轴最近的生成树（点）：A、B（分别按x权值和y权值做最小生成树即可）。

 

Step2:寻找一个在AB的靠近原点一侧的且离AB最远的生成树C，试图更新答案。

 

【怎么找？？？？

——由于C离AB最远，所以S△ABC面积最大。

向量AB=（B.x - A.x , B.y - A.y）

向量AC= (C.x - A.x , C.y - A.y)

向量AB、AC的叉积(的二分之一)为S△ABC的面积（只不过叉积是有向的，是负的，所以最小化这个值，即为最大化面积）。

 

最小化：(B.x-A.x)*(C.y-A.y)-(B.y-A.y)*(C.x-A.x)

=(B.x-A.x)*C.y+(A.y-B.y)*C.x  -  A.y*(B.x-A.x)+A.x*(B.y-A.y)/*粗体为常数，不要管*/

 

所以将每个点的权值修改为 y[i]*(B.x-A.x)+(A.y-B.y)*x[i] 做最小生成树，找到的即是C。】

 

Step3:递归地分别往AC、BC靠近原点的一侧找。递归边界：该侧没有点了(即叉积大于等于零)。

 

BZOJ2395 裸题

Code:

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
int res;
char c;
inline int Get()
{
    res=0;c='*';
    while(c<'0'||c>'9')c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9'){res=res*10+(c-'0');c=getchar();}
    return res;
}
struct Edge{int u,v,c,t,w;void read(){u=Get();v=Get();c=Get();t=Get();}};
struct Point{int x,y;Point(const int &A,const int &B){x=A;y=B;}Point(){}};
typedef Point Vector;
typedef long long LL;
Vector operator - (const Point &a,const Point &b){return Vector(a.x-b.x,a.y-b.y);}
int Cross(Vector A,Vector B){return A.x*B.y-A.y*B.x;}
bool operator < (const Edge &a,const Edge &b){return a.w<b.w;}
Edge edges[10001];
int n,m,rank[201],fa[201];
Point ans=Point(1000000000,1000000000),minc,mint;
inline void init()
{
    memset(rank,0,sizeof(rank));
    for(int i=0;i<n;i++)
      fa[i]=i;
}
int findroot(int x) 
{
    if(fa[x]==x)
      return x;
    int t=findroot(fa[x]);
    fa[x]=t;
    return t;
}
inline void Union(int U,int V)
{
    if(rank[U]<rank[V])
      fa[U]=V;
    else
      {
        fa[V]=U;
        if(rank[U]==rank[V])
          rank[U]++;
      }
}
inline Point Kruscal()
{
    int tot=0;
    Point now=Point(0,0);
    init();
    for(int i=1;i<=m;i++)
      {
          int U=findroot(edges[i].u),V=findroot(edges[i].v);
          if(U!=V)
            {
                Union(U,V);
                tot++;
                now.x+=edges[i].c;
                now.y+=edges[i].t;
                if(tot==n-1)
                  break;
            }
      }
    LL Ans=(LL)ans.x*ans.y,Now=(LL)now.x*now.y;
    if( Ans>Now || (Ans==Now&&now.x<ans.x) )
      ans=now;
    return now;
}
void Work(Point A,Point B)
{
    for(int i=1;i<=m;i++)
      edges[i].w=edges[i].t*(B.x-A.x)+edges[i].c*(A.y-B.y);
    sort(edges+1,edges+m+1);
    Point C=Kruscal();
    if(Cross(B-A,C-A)>=0)
      return;
    Work(A,C);
    Work(C,B);
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++)
      edges[i].read();
    for(int i=1;i<=m;i++)
      edges[i].w=edges[i].c;
    sort(edges+1,edges+m+1);
    minc=Kruscal();
    for(int i=1;i<=m;i++)
      edges[i].w=edges[i].t;
    sort(edges+1,edges+m+1);
    mint=Kruscal();
    Work(minc,mint);
    printf("%d %d\n",ans.x,ans.y);
    return 0;
}