test20190905 ChiTongZ

100+22+90=212。前两道题不错，但T3 没什么意义。

围观刘老爷超强 T1 解法。

ChiTongZ的水题赛

【题目简介】

我本可以容忍黑暗，如果我不曾见过太阳。

考试内容略有超纲，不超纲的都给了非常多的部分分。

注意常数优化与超光速快速读入的运用

\[黑暗(game) \]

【题目信息】

时间限制：\(2.5s\)

空间限制：\(512MB\)

\(O2:\) 没有

【题目背景】

\(ChiTongZ\) 实在想不出背景，便开始玩猜数游戏，为了不让他鸽掉出题，请帮他完成猜数游戏。

【题目描述】

给定一个序列 \(\{a_n\}\) ，每一次你需要指定一个区间 \([l,r]\) ，并查询这个区间的数的和的奇偶性，花费的代价 \(c_{ij}\) ，求得出所有的 \(a_i\) 的值的最小花费。

保证 \(a_i\in \{0,1\}\) 。

【输入格式】

第一行为 \(n\) 。

第二行起为一个矩阵，其中第 \(i\) 行有 \(n-i+1\) 个数，

其中第 \(i\) 行表示 \(c_{ii},c_{i(i+1)},c_{i(i+2)},\cdots ,c_{in}\)

【输出格式】

一行一个数表示最小花费。

【样例输入】

\(game.in\)

\(3\\8\ \ 4\ \ 2\\8\ \ 1\\9\)

【样例输出】

\(game.out\)

7

【数据范围 \(/\) 提示】

对 \(5\%\) 的数据满足 \(n\leq 300\)

对 \(100\%\) 的数据

\(1\leq c_{ij} \leq 10^{9}\)

\(1\leq n\leq 3\times 10^3\)

---

\[见过(matrix) \]

【题目信息】

时间限制：\(3s\)

空间限制：\(512MB\)

\(O2:\) 没有

【题目背景】

\(ChiTongZ\) 拿着某一道奇奇怪怪的题目请教大佬，大佬给了 \(ChiTongZ\) 一道更加奇奇怪怪的题目，\(ChiTongZ\) 测了 \(50\) 次都没有 \(AC\) ，为了体现 \(OIer\) 互帮互助的精神，你需要解决这一道题。

【题目描述】

大佬发现 \(ChiTongZ\) 的提交记录构成了一个奇奇怪怪的矩阵，全是 \(WA\) ，但是相邻的格子的分数值得研究，假设矩阵有一个奇怪值，定义为

\(\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^mnum_{ij}*A_{ij}^2\)

其中 \(n\) 表示矩阵的行数，\(m\) 表示矩阵的列数，\(num_{ij}\) 表示第 \(i\) 行第 \(j\) 个元素上下左右四个方向上有多少个元素与 \(A_{ij}\) 的值不同，当然 \(A_{ij}\) 就表示矩阵第 \(i\) 行第 \(j\) 个元素了。

保证矩阵有 \(c\) 种颜色，并且 \(A_{ij}\in[1,c]\)

告诉你矩阵的行数 \(n\) ，列数 \(m\) ，还有每一种颜色的格子数量 \(p_i\) ，请求出矩阵奇怪值尽量小的一种方案，至于要多小，见提示。

【输入格式】

第一行三个整数 \(n,m,c\) 表示矩阵行数，矩阵列数，颜色的种类数。

第二行 \(c\) 个数字，第 \(i\) 个数 \(p_i\) 表示颜色为 \(i\) 的格子的数量。

保证 \(\sum\limits_{i=1}^cp_i=n\times m\)

【输出格式】

第一行为你的矩阵的奇怪值。

第二行起的连续 \(n\) 行描述这个矩阵，第 \(i\) 行 \(j\) 个元素表示 \(A_{ij}\) 。

【样例输入】

\(matrix.in\)

\(5\ \ 5\ \ 5\\4\ \ 2\ \ 1\ \ 7\ \ 11\)

【样例输出】

\(matrix.out\)

\(290\\5\ 5\ 5\ 4\ 4\\5\ 5\ 1\ 4\ 4\\5\ 5\ 1\ 4\ 4\\5\ 5\ 1\ 1\ 4\\5\ 5\ 2\ 2\ 3\)

【数据范围 \(/\) 提示】

对于 \(100\%\) 的数据，满足 \(1\leq n,m,c\leq 10,\ \ 1\leq A_{ij}\leq c\) 。

---

每一个测试点的分值给法如下

对于每一个测试点，有一个阈值 \(w\) ，设 \(p\) 表示你的程序的答案(如果合法)。

若 \(p\leq 1.1w\) 分值为 \(5\) 分。

若 \(1.1w<p\leq 1.4w\) 分值为 \(3\) 分。

若 \(1.4w<p\leq 2.0w\) 分值为 \(1\) 分。

此外情况为 \(0\) 分，不合法的答案也为 \(0\) 分。

不要尝试输出答案为 \(0\) ，\(SPJ\) 会检测你的结果与你的矩阵是否相符。

不同的矩阵构造方式可能会有相同的分数，由 \(SPJ\) 给出结果。

---

\[太阳(tree) \]

【题目信息】

时间限制：\(1s-1.5s\)

空间限制：\(512MB\)

\(O2:\) 没有

【题目背景】

\(ChiTongZ\) 向 \(LDJ\) 借了一棵树，为了更好的了解这一棵树，他想问你一个问题。

【题目描述】

每一个节点有两个权值 \(c_i,b_i\) ，定义一个节点 \(u\) 的可爱度如下：

从节点 \(u\) 的所有的子节点(包括 \(u\) )当中选择一部分点，并且 \(u\) 可以选择可以不选择，将其权值 \(c_i\) 相乘，并对 \(M\) 取模，可以得到一个正整数 \(k\)，要求 \(b_u\equiv k (mod\ M)\) 的取节点总方案数为 \(u\) 的可爱度。

为了更好的了解这一棵树，\(ChiTongZ\) 想要知道所有的节点的可爱度。

由于不想写高精度，答案请对 \(998244353\) 取一取模。

不选节点视乘积为 \(1\) 。

【输入格式】

第一行两个正整数 \(n,M\) ，表示节点的个数,模数。

第二行起的 \(n-1\) 行，每行两个整数 \(x,y\) ，表示点 \(x\) 与点 \(y\) 有边直接相连。

接下来的一行有 \(n\) 个整数，表示每一个节点的权值 \(c_i\) 。

接下来的一行有 \(n\) 个整数，表示每一个节点的权值 \(b_i\) 。

【输出格式】

输出一行一共 \(n\) 个整数，表示每一个节点的可爱度。

【样例输入】

\(tree.in\)

\(5\ 13\\1\ 2\\2\ 4\\2\ 5\\1\ 3\\5\ 1\ 4\ 2\ 7\\2\ 1\ 3\ 2\ 2\)

【样例输出】

\(tree.out\)

\(4\ 4\ 0\ 1\ 0\)

【数据范围 \(/\) 提示】

对于 \(90\%\) 的数据，满足 \(n,m\leq 100\)，测试点时限 \(1s\)

对于另外 \(10\%\) 的数据，满足测试点时限 \(1.5s\)

对于 \(100\%\) 的数据，满足 \(n\leq 3000, M\leq 10000,1\leq c_i,b_i<M\) 并且 \(M\) 为质数，保证 \(b_i,c_i\) 不为 \(M\) 的倍数。

T1

部分分做法

或许可以搜索？

满分做法

考虑每一次询问 \([i,j]\) 实际上是得到了 \(sum_{i-1}\) 与 \(sum_j\) 的对应关系，就是知道其中一个，另外一个就知道了，另外这个关系可以转移，就是对于 \(i<j<k\) 知道了 \(sum_{i}\) 与 \(sum_k\) 的关系，知道了 \(sum_j\) 与 \(sum_k\) 的关系，就知道了 \(sum_i\) 与 \(sum_j\) 的关系，所以是不会存在环的，于是就可以使用最小生成树解决。

T2

部分分做法

贪心，动态规划等等都可以试一试。

满分做法

考虑搜索，但是时间复杂度太高，所以模拟退火优化，卡一卡。

每次找两个格子，交换位置，答案更优就保留，否则按照某个随随机次数增多而减小的概率保留答案。

这道题是 这道题 的弱化版，卡参数不那么严重。

T3

部分分做法

考虑直接 \(DP\) ，明显设 \(f[i][j]\) 表示第 \(i\) 个节点及子节点当中选出乘积为 \(j\) 的方案数，所以直接转移就可以了。

满分做法

多项式乘法可以解决剩下的 \(10\) 分。

将状态转移方程列出来之后发现是(\(v\) 为 \(u\) 的子节点)

\(f[u][k]=\sum\limits_{i\times j=k}f[u][i]\times f[v][j]\)

左边是新的 \(f\) ，右边是旧的 \(f\) ，运算时不能覆盖。

这个式子有一点多项式的样子，但是运算符是乘法，不能够直接 \(NTT/FFT\) ，所以考虑转化一下。

由套路可得，在 \(M\) 为质数时，可以直接求出模 \(M\) 的原根 \(g\) ，并把每一个数 \(x\) 表示为 \(log_gx\) ，于是状态转移就变成了

\(f[u][log_gk]=\sum\limits_{log_gi+log_gj=log_gk}f[u][log_gi]\times f[v][log_gj]\)

然后就可以 \(NTT/FFT\) 快速计算了。