回文自动机基础题
LG1659 拉拉队排练
n个女生从左到右排成一行，每个人手中都举了一个写有26个小写字母中的某一个的牌子
如果连续的一段女生，有奇数个，并且他们手中的牌子所写的字母，从左到右和从右到左读起来一样，那么这一段女生就被称作和谐小群体.
找出所有和谐小群体，并且按照女生的个数降序排序之后，前K个和谐小群体的女生个数的乘积是多少
答案除以19930726的余数
n ≤ 106, k ≤ 1012
题解
学习了一下回文自动机，推荐nianheng的博客。
此题将状态将 len 排序后扫一遍就可以了。
时间复杂度\(O(n)\)，回文自动机的复杂度分析似乎跟AC自动机一样。
注意写代码的时候新建节点要先处理信息再连边，否则 如果 last=1 的话 fail 可能会连向自己。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
template<class T> T read(){
T x=0,w=1;char c=getchar();
for(;!isdigit(c);c=getchar())if(c=='-') w=-w;
for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
return x*w;
}
template<class T> T read(T&x){
return x=read<T>();
}
#define co const
#define il inline
typedef long long LL;
co int mod=19930726;
il int mul(int a,int b){
return (LL)a*b%mod;
}
il int fpow(int a,int b){
int ans=1;
for(;b;b>>=1,a=mul(a,a))
if(b&1) ans=mul(ans,a);
return ans;
}
co int N=1000000+10;
int last,tot;
struct node{int ch[26],fa,len,siz;}s[N];
char str[N];
int get_fa(int x,int p){
while(str[p-s[x].len-1]!=str[p]) x=s[x].fa;
return x;
}
void extend(int p){
int cur=get_fa(last,p);
int now=s[cur].ch[str[p]-'a'];
if(!now){
now=++tot;
s[now].fa=s[get_fa(s[cur].fa,p)].ch[str[p]-'a'];
s[now].len=s[cur].len+2;
s[cur].ch[str[p]-'a']=now; // edit 1: last=1
}
++s[now].siz;
last=now;
}
il bool operator<(co node&a,co node&b){
return a.len>b.len;
}
int main(){
int n=read<int>();LL K=read<LL>();
scanf("%s",str+1);
last=tot=1;
s[1].len=-1,s[0].fa=s[1].fa=1;
for(int i=1;i<=n;++i) extend(i);
for(int i=tot;i>=2;--i) s[s[i].fa].siz+=s[i].siz;
sort(s+2,s+tot+1);
int ans=1;
for(int i=2;K;++i){
if(i>tot) {puts("-1");return 0;}
if(~s[i].len&1) continue;
if(s[i].siz<K){
K-=s[i].siz;
ans=mul(ans,fpow(s[i].len,s[i].siz));
}
else{
ans=mul(ans,fpow(s[i].len,K));
K=0;
}
}
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
LG5496 【模板】回文自动机（PAM）
给定一个字符串 s。保证每个字符为小写字母。对于 s 的每个位置，请求出以该位置结尾的回文子串个数。
这个字符串被进行了加密，除了第一个字符，其他字符都需要通过上一个位置的答案来解密。
具体地，若第 i(i≥1) 个位置的答案是 k，第 i+1 个字符读入时的 ASCII 码为 c，则第 i+1 个字符实际的 ASCII 码为 (c−97+k) mod 26+97。所有字符在加密前后都为小写字母。
对于 100% 的数据， 1≤∣s∣≤5×105。
题解
PAM可以额外维护两个有用的信息：
- siz：表示节点 i 对应的回文串的出现次数
siz 每次加入节点时+1，最后 fail 树上子树求和即可。 - num：表示节点 i 包含的本质不同的回文串个数
num 每次加入节点时，num[i]=num[fail[i]]+1
时间复杂度\(O(n)\)。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
template<class T> T read(){
T x=0,w=1;char c=getchar();
for(;!isdigit(c);c=getchar())if(c=='-') w=-w;
for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
return x*w;
}
template<class T> T read(T&x){
return x=read<T>();
}
#define co const
#define il inline
typedef long long LL;
co int N=500000+10;
int last=1,tot=1;
int ch[N][26],fa[N]={1,1},len[N]={0,-1},num[N];
char str[N];
int get_fa(int x,int pos){
while(str[pos-len[x]-1]!=str[pos]) x=fa[x];
return x;
}
int extend(int pos){
int p=get_fa(last,pos);
int x=ch[p][str[pos]-'a'];
if(!x){
x=++tot;
fa[x]=ch[get_fa(fa[p],pos)][str[pos]-'a'];
len[x]=len[p]+2;
num[x]=num[fa[x]]+1;
ch[p][str[pos]-'a']=x;
}
last=x;
return num[x];
}
int main(){
scanf("%s",str+1);int n=strlen(str+1);
int ans=0;
for(int i=1;i<=n;++i){
str[i]=(str[i]-97+ans)%26+97;
ans=extend(i);
printf("%d ",ans);
}
return 0;
}
别忘了开long long。
BZOJ2565 最长双回文串
顺序和逆序读起来完全一样的串叫做回文串。比如acbca是回文串，而abc不是（abc的顺序为“abc”，逆序为“cba”，不相同）。
输入长度为n的串S，求S的最长双回文子串T,即可将T分为两部分X，Y，（|X|,|Y|≥1）且X和Y都是回文串。
题解
正着倒着做一遍就完了。使用namespace很方便。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
template<class T> T read(){
T x=0,w=1;char c=getchar();
for(;!isdigit(c);c=getchar())if(c=='-') w=-w;
for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
return x*w;
}
template<class T> T read(T&x){
return x=read<T>();
}
#define co const
#define il inline
typedef long long LL;
co int N=100000+10;
char s[N];
namespace T1{
int last=1,tot=1;
int ch[N][26],fa[N]={1,1},len[N]={0,-1},ref[N];
int get_fa(int x,int i){
while(s[i-len[x]-1]!=s[i]) x=fa[x];
return x;
}
void extend(int i){
int p=get_fa(last,i);
int x=ch[p][s[i]-'a'];
if(!x){
x=++tot;
fa[x]=ch[get_fa(fa[p],i)][s[i]-'a'];
len[x]=len[p]+2;
ch[p][s[i]-'a']=x;
}
ref[i]=x;
last=x;
}
}
namespace T2{
int last=1,tot=1;
int ch[N][26],fa[N]={1,1},len[N]={0,-1},ref[N];
int get_fa(int x,int i){
while(s[i+len[x]+1]!=s[i]) x=fa[x];
return x;
}
void extend(int i){
int p=get_fa(last,i);
int x=ch[p][s[i]-'a'];
if(!x){
x=++tot;
fa[x]=ch[get_fa(fa[p],i)][s[i]-'a'];
len[x]=len[p]+2;
ch[p][s[i]-'a']=x;
}
ref[i]=x;
last=x;
}
}
int main(){
scanf("%s",s+1);int n=strlen(s+1);
for(int i=1;i<=n;++i) T1::extend(i);
for(int i=n;i>=1;--i) T2::extend(i);
int ans=0;
for(int i=1;i<n;++i)
ans=max(ans,T1::len[T1::ref[i]]+T2::len[T2::ref[i+1]]);
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
CF17E Palisection
给你一个字符串，让你求出有多少对相交的回文子串。
1 ≤ n ≤ 2·106
题解
正难则反，求相交会很难搞。把问题转化成求互不相交的回文子串再减一下就行了。
不相交就正着倒着做一遍就行了。
注意这题卡空间，于是我用unordered_map来搞。
struct pairhash{
size_t operator()(CO pair<int,int>&x)CO{
return x.first^(~x.second);
}
};
CO int N=2000000+10;
namespace PAM{
int str[N],n;
int last,tot;
tr1::unordered_map<pair<int,int>,int,pairhash> ch;
int len[N],fa[N],dep[N];
void init(){
memset(str,-1,sizeof str),n=0;
last=tot=1;
len[0]=0,len[1]=-1,fa[0]=fa[1]=1;
}
int get_fail(int x){
while(str[n-len[x]-1]!=str[n]) x=fa[x];
return x;
}
void extend(int c){
str[++n]=c;
int p=get_fail(last);
if(!ch[make_pair(p,c)]){
int cur=++tot;
len[cur]=len[p]+2;
fa[cur]=ch[make_pair(get_fail(fa[p]),c)];
ch[make_pair(p,c)]=cur;
dep[cur]=dep[fa[cur]]+1;
}
last=ch[make_pair(p,c)];
}
}
char str[N];
int pre[N];
int main(){
int n=read<int>();
scanf("%s",str+1);
PAM::init();
for(int i=1;i<=n;++i){
PAM::extend(str[i]-'a');
pre[i]=add(pre[i-1],PAM::dep[PAM::last]);
}
int ans=(LL)pre[n]*(pre[n]-1)/2%mod;
PAM::init();
for(int i=n;i>=1;--i){
PAM::extend(str[i]-'a');
ans=add(ans,mod-mul(pre[i-1],PAM::dep[PAM::last]));
}
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
JSOI2013 快乐的jyy
给定两个字符串A和B，表示JYY的两个朋友的名字。我们用A(i,j)表示A字符串中从第i个字母到第j个字母所组成的子串。同样的，我们也可以定义B(x,y)。
JYY发现两个朋友关系的紧密程度，等于同时满足如下条件的四元组(i,j,x,y)的个数：
- 1<=i<=j<=|A| （这里|A|表示字符串A的长度）
- 1<=x<=y<=|B|
- A(i,j)=B(x,y)
- A(i,j)是回文串
JYY希望你帮助他计算出这两个朋友之间关系的紧密程度。
题解
把两个串插入到同一个回文自动机里面 , 记录每一个回文串中两个字符串出现的次数 size[0/1].
相乘就是一组回文串的贡献 , 答案就是 ∑size[i][0]∗size[i][1]
插入第二个串的时候要把last设成1.
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
template<class T> T read(){
T x=0,w=1;char c=getchar();
for(;!isdigit(c);c=getchar())if(c=='-') w=-w;
for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
return x*w;
}
template<class T> T read(T&x){
return x=read<T>();
}
#define co const
#define il inline
typedef long long LL;
co int N=50000+10;
char s[N];
int last=1,tot=1,T;
int ch[N][26],fa[N]={1,1},len[N]={0,-1},siz[N][2];
int get_fa(int x,int i){
while(s[i-len[x]-1]!=s[i]) x=fa[x];
return x;
}
void extend(int i){
int p=get_fa(last,i);
int x=ch[p][s[i]-'A'];
if(!x){
x=++tot;
fa[x]=ch[get_fa(fa[p],i)][s[i]-'A'];
len[x]=len[p]+2;
ch[p][s[i]-'A']=x;
}
++siz[x][T];
last=x;
}
int main(){
scanf("%s",s+1);int n=strlen(s+1);
for(int i=1;i<=n;++i) extend(i);
scanf("%s",s+1),n=strlen(s+1);
last=1,T=1;
for(int i=1;i<=n;++i) extend(i);
LL ans=0;
for(int i=tot;i>=2;--i){
siz[fa[i]][0]+=siz[i][0],siz[fa[i]][1]+=siz[i][1];
ans+=(LL)siz[i][0]*siz[i][1];
}
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
Antisymmetry
对于一个01字符串，如果将这个字符串0和1取反后，再将整个串反过来和原串一样，就称作“反对称”字符串。比如00001111和010101就是反对称的，1001就不是。
现在给出一个长度为N的01字符串，求它有多少个子串是反对称的。
N <= 500,000
manacher
manacher匹配的时候改一下匹配条件就可以了，只要两个数相加等于一时就可以，一定要注意是不存在奇数串的，而且统计的时候要用long long，还要除以二。
时间复杂度\(O(n)\)。
话说那个哈希+二分也可以过，利用一个反对称串长度一定为偶数,且后半段取反后形成回文串，不过实现和复杂度显然没有manacher更优。
#include<bits/stdc++.h>
#define rg register
#define il inline
#define co const
template<class T>il T read()
{
rg T data=0;
rg int w=1;
rg char ch=getchar();
while(!isdigit(ch))
{
if(ch=='-')
w=-1;
ch=getchar();
}
while(isdigit(ch))
{
data=data*10+ch-'0';
ch=getchar();
}
return data*w;
}
template<class T>il T read(rg T&x)
{
return x=read<T>();
}
typedef long long ll;
co int N=1e6+1;
char s[N],a[N*2];
int p[N*2];
int n,m;
void manacher()
{
m=2*n+1;
for(int i=1;i<=n;++i)
a[i*2]=s[i],a[i*2+1]='#';
a[0]='+',a[1]='#',a[m+1]='-';
int mx=0,id=0;
for(int i=1;i<=m;i+=2)
{
if(mx>i)
p[i]=std::min(p[2*id-i],mx-i);
else
p[i]=1;
while(a[i+p[i]]-'0'+a[i-p[i]]-'0'==1||(a[i+p[i]]==a[i-p[i]]&&a[i+p[i]]=='#'))
++p[i];
if(i+p[i]>mx)
mx=i+p[i],id=i;
}
}
int main()
{
// freopen(".in","r",stdin);
// freopen(".out","w",stdout);
read(n);
scanf("%s",s+1);
manacher();
ll ans=0;
for(int i=1;i<=m;i+=2)
ans+=(p[i]-1)/2;
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
回文自动机
因为我新学了PAM，所以这篇博客更新了。
根本上来说只要把==改成!=即可，但是这样一来很多停止条件就没了，需要很多特判手动刹车，最后统计一下size即可
但是!=是一个很弱的条件，改成相加为1更好。
要去掉长度为奇数的回文串。方法是如果跳 p 跳到 1 了，直接 last=0;return;`即可。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
template<class T> T read(){
T x=0,w=1;char c=getchar();
for(;!isdigit(c);c=getchar())if(c=='-') w=-w;
for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
return x*w;
}
template<class T> T read(T&x){
return x=read<T>();
}
#define co const
#define il inline
typedef long long LL;
co int N=500000+10;
char s[N];
int last=1,tot=1;
int ch[N][26],fa[N]={1,1},len[N]={0,-1},siz[N];
int get_fa(int x,int i){
while(x!=1&&s[i-len[x]-1]-'0'+s[i]-'0'!=1) x=fa[x];
return x;
}
void extend(int i){
int p=get_fa(last,i);
if(p==1) {last=0;return;}
int x=ch[p][s[i]-'0'];
if(!x){
x=++tot;
int q=get_fa(fa[p],i);
if(q==1) fa[x]=0;
else fa[x]=ch[q][s[i]-'0'];
len[x]=len[p]+2;
ch[p][s[i]-'0']=x;
}
++siz[x];
last=x;
}
int main(){
int n=read<int>();
scanf("%s",s+1);
for(int i=1;i<=n;++i) extend(i);
int ans=0;
for(int i=tot;i>=2;--i){
ans+=siz[i];
siz[fa[i]]+=siz[i];
}
printf("%d\n",ans);
return 0;
}
静渊以有谋，疏通而知事。
