LG4777 【模板】扩展中国剩余定理（EXCRT）

题意

题目描述

给定\(n\)组非负整数\(a_i, b_i\)，求解关于\(x\)的方程组

\[\begin{cases} x \equiv b_1\ ({\rm mod}\ a_1) \\ x\equiv b_2\ ({\rm mod}\ a_2) \\ ... \\ x \equiv b_n\ ({\rm mod}\ a_n)\end{cases}$$的最小非负整数解。 ## 输入输出格式 ### 输入格式： 输入第一行包含整数$n$。 接下来$n$行，每行两个非负整数$a_i, b_i$。 ### 输出格式： 输出一行，为满足条件的最小非负整数$x$。 ## 输入输出样例 ### 输入样例#1： 3 11 6 25 9 33 17 ### 输出样例#1： 809 ## 说明 $n \leq 10^5, 1 \leq a_i \leq 10^{12}, 0 \leq b_i \leq 10^{12}, b_i < a_i$，保证答案不超过$10^{18}$。 请注意程序运行过程中进行乘法运算时结果可能有溢出的风险。 数据保证有解 # [niiick](https://www.luogu.org/blog/niiick/solution-p4777)的题解 问题 求解同余方程组 \]

\left{\begin{aligned}x\equiv\ a_1(\mod m_1) \quad\ x\equiv\ a_2(\mod m_2) \quad\ x\equiv\ a_3(\mod m_3) \quad\ ...\quad\x\equiv\ a_k(\mod m_k) \quad\end{aligned}\right.

\[其中$m_1,m_2,m_3...m_k$为不一定两两互质的整数， 求x的最小非负整数解 求解 假设已经求出前k-1个方程组成的同余方程组的一个解为x 且有$M=\prod_{i-1}^{k-1}m_i$（补充：代码实现中用的就是$M=LCM_{i-1}^{k-1}m_i$，显然易证这样是对的，还更能防止溢出，上述是为了先方便理解 则前k-1个方程的方程组通解为$x+i*M(i\in Z)$ 那么对于加入第k个方程后的方程组 我们就是要求一个正整数t，使得$x+t*M \equiv a_k(\mod m_k)$ 转化一下上述式子得$t*M \equiv a_k-x(\mod m_k)$ 对于这个式子我们已经可以通过扩展欧几里得求解t 若该同余式无解，则整个方程组无解， 若有，则前k个同余式组成的方程组的一个解解为$x_k=x+t*M$ 所以整个算法的思路就是求解k次扩展欧几里得 ```cpp #include<bits/stdc++.h> #define rg register #define il inline #define co const template<class T>il T read(){ rg T data=0,w=1; rg char ch=getchar(); while(!isdigit(ch)){ if(ch=='-') w=-1; ch=getchar(); } while(isdigit(ch)) data=data*10+ch-'0',ch=getchar(); return data*w; } template<class T>il T read(rg T&x){ return x=read<T>(); } typedef long long ll; co int maxn=1e5+1; int n; ll ai[maxn],bi[maxn]; ll mul(ll a,ll b,ll mod){ ll re=0; while(b){ if(b&1) re=(re+a)%mod; a=(a+a)%mod; b>>=1; } return re; } ll exgcd(ll a,ll b,ll&x,ll&y){ if(b==0) {x=1,y=0;return a;} ll gcd=exgcd(b,a%b,x,y); ll z=x;x=y;y=z-y*(a/b); return gcd; } ll excrt(){ ll x,y; ll M=bi[1],ans=ai[1]; for(int i=2;i<=n;++i){ ll a=M,b=bi[i],c=(ai[i]-ans%b+b)%b; ll gcd=exgcd(a,b,x,y),bg=b/gcd; if(c%gcd) return -1; x=mul(x,c/gcd,bg); ans+=x*M; M*=bg; ans=(ans%M+M)%M; } return ans; } int main(){ // freopen(".in","r",stdin),freopen(".out","w",stdout); read(n); for(int i=1;i<=n;++i) read(bi[i]),read(ai[i]); printf("%lld\n",excrt()); return 0; } ```\]