test20181018 B君的第三题

题意

B 君的第三题(shenyang)

题目描述

客似云来，万里无云

B 君得到了一个数组\(\{a_1,a_2,\dots,a_n\}\)。
B 君想通过修改让数组中个每对数都互质。
每次使一个数+1 或者-1 的代价是1。
不能将\(a_i\) 修改为0 或者负数。
问至少多少代价才可以让所有数两两互质。

输入格式

第一行一个整数n。
第二行n 个整数\(a_i\)，表示数组初始值。

输出格式

一行一个数表示答案。

样例输入

5
2 4 6 8 10

样例输出

4

样例解释

修改为2, 3, 5, 7, 11。

数据规模与约定

对于100% 的数据，满足\(1 \leq n \leq 100, 1 \leq a_i \leq 30\)。
对于30% 的数据，满足\(1 \leq n \leq 4\)。
对于另30% 的数据，满足\(1 \leq a_i \leq 10\)。

分析

因为\(a_i \leq 30\)，1跟所有数互质，所以往下最多改到1，往上最多改到59，所以每个数所含质因数是固定的。

考虑dp，用\(f(i,s)\)表示前i个数改动至只含s集合中的质因数且两两互质所需最小代价，转移方程为：

\[枚举i改成x，x所含质因数集合为s \\ 枚举从原来的含k的集合转移过来，其中k与s没有交集 \\ f(i,k∨s)=\min_{x=1}^{59}f(i-1,k)+|a_i-x| \]

时间复杂度\(O(n \cdot 59 \cdot 2^{17})\)，上界十分不紧。

代码

#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<string>
#include<vector>
#include<list>
#include<deque>
#include<stack>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<bitset>
#include<algorithm>
#include<complex>
#define rg register
#define il inline
#define co const
#pragma GCC optimize ("O0")
using namespace std;
template<class T> il T read()
{
    T data=0;
	int w=1;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch))
    {
		if(ch=='-')
			w=-1;
		ch=getchar();
	}
    while(isdigit(ch))
        data=10*data+ch-'0',ch=getchar();
    return data*w;
}
template<class T> il T read(T&x)
{
	return x=read<T>();
}
typedef long long ll;
const int INF=0x7fffffff;

int p[17]={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59};

il int bit(rg int x)
{
	rg int s=0;
	for(rg int i=0;i<17;++i)
		if(x%p[i]==0)
			s|=(1<<i);
	return s;
}
int b[60];

const int MAXN=107;
int f[MAXN][1<<17];

int main()
{
  freopen("shenyang.in","r",stdin);
  freopen("shenyang.out","w",stdout);
	memset(f,0x3f,sizeof f);
	f[0][0]=0;
	rg int n=read<int>();
	for(rg int i=1;i<=59;++i)
		b[i]=bit(i);
	for(rg int i=1;i<=n;++i)
	{
		rg int a=read<int>();
		for(rg int j=1;j<=59;++j)
		{
			rg int ub=((1<<17)-1)^b[j];
			for(rg int k=ub;;--k&=ub)
			{
				f[i][k|b[j]]=min(f[i][k|b[j]],f[i-1][k]+abs(a-j));
				if(k==0)
					break;
			}
		}
	}
	rg int ans=INF,up=(1<<17)-1;
	for(rg int i=0;i<=up;++i)
		ans=min(ans,f[n][i]);
	printf("%d\n",ans);
//  fclose(stdin);
//  fclose(stdout);
    return 0;
}