test20181016 B君的第三题

题意

B 君的第三题(haskell)

题目描述

大学四年，我为什么，为什么不好好读书，没找到和你一样的工作。

B 君某天看到了这样一个题，勾起了无穷的回忆。
输入\(n, k\) 和一棵\(n\) 个点的树，有边权，没有点权。两点\(i, j\) 之间的距离\(D(i, j)\) 定义为路径上的边权和。求

\[\sum_{1 \leq i < j \leq n} \left\lceil \frac{D(i,j)}{k} \right\rceil \]

换句话说，枚举无序的两个点，求出距离除以\(k\) 上取整的和。

输入格式

输入第一行包含两个整数\(n, k\)。
接下来\(n-1\) 行，每行三个整数\(x, y, z\)，表示\(x\) 和\(y\) 之间有一条边，边权为\(z\)。

输出格式

输出一行一个整数，表示答案。

样例输入

4 6
1 2 2
1 3 3
1 4 4

样例输出

7

数据规模与约定

对于100% 的数据，满足\(1 \leq n \leq 100000, 1 \leq k \leq 10\)。
对于100% 的数据，满足\(1 \leq x, y \leq n, 1 \leq z \leq 10\)。
对于30% 的数据，满足\(n \leq 1000\)。
对于另20% 的数据，满足\(k = 1\)。
对于另20% 的数据，满足\(k = 2\)。

分析

先考虑没有取整的情况，是一个经典题。
然后考虑有多少条路径模 k 余 1, 2, . . .。
这题是NOI2011道路修建和BZOJ2152聪聪可可改编而成的一道好题。

\[\lceil \frac{x}{k} \rceil = \frac{x + k - x \mod{k}}{k} \]

所以我们需要求出分别有多少路径模k等于1,2,..k-1。

考虑dp。

用\(f(i,j)\)表示i的子树中有多少点到i的距离mod k = j，\(c(i)\)表示全局有多少路径mod k = i。

f、c都能在dfs的时候求出，注意顺序，不能用子树乘自己本身的方案。

代码

#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<string>
#include<vector>
#include<list>
#include<deque>
#include<stack>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<bitset>
#include<algorithm>
#include<complex>
#define rg register
#define il inline
#define co const
#pragma GCC optimize ("O0")
using namespace std;
template<class T> il T read(rg T&x)
{
    rg T data=0;
	rg int w=1;
    rg char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch))
    {
		if(ch=='-')
			w=-1;
		ch=getchar();
	}
    while(isdigit(ch))
        data=10*data+ch-'0',ch=getchar();
    return x=data*w;
}
typedef long long ll;
const int INF=0x7fffffff;

const int MAXN=1e5+7,MAXK=11;
int n,k;

struct Edge
{
	int nx,to,w;
}E[MAXN<<1];
int head[MAXN],ecnt;

void addedge(rg int x,rg int y,rg int w)
{
	E[++ecnt].to=y,E[ecnt].w=w;
	E[ecnt].nx=head[x],head[x]=ecnt;
}

int siz[MAXN];
int f[MAXN][MAXK];
ll c[MAXN];
ll ans;

il void dfs(rg int x,rg int fa)
{
	siz[x]=1;
	f[x][0]=1;
	for(rg int i=head[x];i;i=E[i].nx)
	{
		rg int y=E[i].to,w=E[i].w;
		if(y==fa)
			continue;
		dfs(y,x);
		siz[x]+=siz[y];
		ans += (ll) (n - siz[y]) * siz[y] * w;
		for(rg int p=0;p<k;++p)
			for(rg int q=0;q<k;++q)
				c[(p + q + w) % k] += f[x][p] * f[y][q];
		for(rg int j=0;j<k;++j)
			f[x][(j + w) % k] += f[y][j];
	}
}

int main()
{
  freopen("haskell.in","r",stdin);
  freopen("haskell.out","w",stdout);
	read(n);read(k);
	for(rg int i=1;i<n;++i)
	{
		rg int x,y,w;
		read(x);read(y);read(w);
		addedge(x,y,w);
		addedge(y,x,w);
	}
	dfs(1,0);
	for(rg int i=1;i<k;++i)
	{
		ans += (k-i) * c[i];
	}
	printf("%lld\n",ans/k);
//  fclose(stdin);
//  fclose(stdout);
    return 0;
}