[NOI2012]随机数生成器

题意

栋栋最近迷上了随机算法，而随机数是生成随机算法的基础。栋栋准备使用线性同余法（Linear Congruential Method）来生成一个随机数列，这种方法需要设置四个非负整数参数m,a,c,X[0],按照下面的公式生成出一系列随机数{Xn}：

                 X[n+1]=(aX[n]+c) mod m

其中mod m表示前面的数除以m的余数。从这个式子可以看出，这个序列的下一个数总是由上一个数生成的。

用这种方法生成的序列具有随机序列的性质，因此这种方法被广泛地使用，包括常用的C++和Pascal的产生随机数的库函数使用的也是这种方法。

栋栋知道这样产生的序列具有良好的随机性，不过心急的他仍然想尽快知道X[n]是多少。由于栋栋需要的随机数是0,1,...,g-1之间的，他需要将X[n]除以g取余得到他想要的数，即X[n] mod g，你只需要告诉栋栋他想要的数X[n] mod g是多少就可以了。

\(n,m,a,c,X[0] \leq 10^{18},g \leq10^8\)

分析

构造法

见这篇博客

#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<ctime>
#include<iostream>
#include<string>
#include<vector>
#include<list>
#include<deque>
#include<stack>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<bitset>
#include<algorithm>
#include<complex>
#pragma GCC optimize ("O0")
using namespace std;
template<class T> inline T read(T&x)
{
    T data=0;
	int w=1;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch))
    {
		if(ch=='-')
			w=-1;
		ch=getchar();
	}
    while(isdigit(ch))
        data=10*data+ch-'0',ch=getchar();
    return x=data*w;
}
typedef long long ll;
const int INF=0x7fffffff;

ll mod;

ll qmul(ll x,ll y)
{
	ll res = 0;
	while(y)
	{
		if(y&1)
			(res += x) %= mod;
		(x += x) %= mod, y >>= 1;
	}
	return res;
}

ll qpow(ll x,ll k)
{
	ll res = 1;
	while(k)
	{
		if(k&1)
			res = qmul(res,x);
		x = qmul(x,x), k >>= 1;
	}
	return res;
}

ll a,c;

ll sum(ll n)
{
	if(n == 1)
		return c;
	ll res = sum(n / 2);
	(res += qmul(qpow(a,n / 2),res) ) %= mod;
	if(n&1)
		(res += qmul(qpow(a,n - 1),c)) %= mod;
	return res;
}

int main()
{
//  freopen(".in","r",stdin);
//  freopen(".out","w",stdout);
	ll X,n,g;
	read(mod);read(a);read(c);read(X);read(n);read(g);
	ll ans = qpow(a,n);
	ans = qmul(ans,X);
	(ans += sum(n)) %= mod;
	printf("%lld\n",ans % g);
//  fclose(stdin);
//  fclose(stdout);
    return 0;
}

矩阵法

\[\left( \left[ \begin{matrix} a & c\\ 0 & 1\\ \end{matrix} \right]^n \times \left[ \begin{matrix} X_0\\ 1 \end{matrix} \right] \right)_{1,1} \mod m \]

矩阵快速幂解决。

#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<ctime>
#include<iostream>
#include<string>
#include<vector>
#include<list>
#include<deque>
#include<stack>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<bitset>
#include<algorithm>
#include<complex>
#pragma GCC optimize ("O0")
using namespace std;
template<class T> inline T read(T&x)
{
    T data=0;
	int w=1;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch))
    {
		if(ch=='-')
			w=-1;
		ch=getchar();
	}
    while(isdigit(ch))
        data=10*data+ch-'0',ch=getchar();
    return x=data*w;
}
typedef long long ll;
const int INF=0x7fffffff;

ll mod;

ll qmul(ll x,ll y)
{
	ll res = 0;
	while(y)
	{
		if(y&1)
			(res += x) %= mod;
		(x += x) %= mod,y >>= 1;
	}
	return res;
}

struct Matrix
{
	ll data[2][2];
	
	Matrix()
	{
		memset(data,0,sizeof data);
	}
	
	ll*operator[](const int&x)
	{
		return data[x];
	}
	
	Matrix operator*(const Matrix&rhs)const
	{
		Matrix res;
		for(int i=0;i<2;++i)
			for(int j=0;j<2;++j)
			{
				for(int k=0;k<2;++k)
				{
					
					(res[i][j] += qmul(data[i][k],rhs.data[k][j])) %= mod; // edit 1:data -> rhs
					/*if(res[i][j]<0)
						res[i][j] += mod;*/
				}
			}
				
		return res;
	}
	
	Matrix&operator*=(const Matrix&rhs)
	{
		return *this=*this*rhs;
	}
	
	void out()
	{
		cerr<<"check"<<endl;
		for(int i=0;i<2;++i)
		{
			for(int j=0;j<2;++j)
				cerr<<data[i][j]<<" ";
			cerr<<endl;
		}
	}
}a,b;

Matrix qpow(Matrix x,ll k)
{
	Matrix res;
	res[0][0]=res[1][1]=1;
	while(k)
	{
		if(k&1)
			res *= x;
		x *= x, k >>= 1;
	}
	return res;
}

int main()
{
//  freopen(".in","r",stdin);
//  freopen(".out","w",stdout);
	read(mod);
	read(a[0][0]);read(a[0][1]);a[1][1]=1;
	read(b[0][0]);b[1][0]=1;
	ll n,g;
	read(n);read(g);
	a = qpow(a,n);
	a *= b;
	printf("%lld\n",a[0][0] % g);
//  fclose(stdin);
//  fclose(stdout);
    return 0;
}

第二种方法比第一种方法快几毫秒。