test20181004 排列
题意
分析
容斥公式的意义
选了原图中\(x(x \geq i)\)条边的方案,重复了\(\binom{x}{i}\)次。
有多加多减,所以就是那个式子。
具体而言,对选了x条原图中的边的方案,总共加减了
\[\sum_{i=0}^{x} \binom{x}{i} \cdot (-1)^{i}\\
= (1 + (-1))^x = 0
\]
这么多次。用二项式定理即可证明上述式子在x>0的情况下均为0。
dp方程解释
所谓选第i个点就是说选了i和i-1之间的这条边。
代码
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<ctime>
#include<iostream>
#include<string>
#include<vector>
#include<list>
#include<deque>
#include<stack>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<bitset>
#include<algorithm>
#include<complex>
#pragma GCC optimize ("O0")
#define For(i,a,b) for(int i=(a);i<=(b);i++)
#define Rep(i,a,b) for(int i=(a);i>=(b);i--)
#define LL ll
#define p mod
using namespace std;
template<class T> inline T read(T&x)
{
T data=0;
int w=1;
char ch=getchar();
while(!isdigit(ch))
{
if(ch=='-')
w=-1;
ch=getchar();
}
while(isdigit(ch))
data=10*data+ch-'0',ch=getchar();
return x=data*w;
}
using ll = long long;
constexpr int INF=0x7fffffff;
constexpr int MAXN=2007,mod=998244353;
int fac[MAXN];
int g[MAXN],f[MAXN][MAXN][2];
int up;
int main()
{
freopen("permutation.in","r",stdin);
freopen("permutation.out","w",stdout);
int n,k;
read(n);read(k);
fac[0]=1;
for(int i=1;i<=n;++i)
fac[i] = (ll)fac[i-1] * i % mod;
g[0]=1;
for(int cs=1;cs<=2;++cs)
{
for(int i=1;i<=k;++i)
{
f[i][0][0]=1;
int j=i,tp=0;
for(;;)
{
if(j+k>n)
break;
j+=k,++tp;
for(int l=0;l<=tp;++l)
{
f[j][l+1][1] = f[j-k][l][0];
f[j][l][0] = (f[j-k][l][0] + f[j-k][l][1]) % mod;
}
}
for(int l=up;l>=0;--l)
for(int m=1;m<=tp;++m)
(g[l+m] += (ll)g[l] * (f[j][m][0] + f[j][m][1]) % mod) %= mod;
up+=tp;
}
}
int ans=0;
for(int i=0;i<=n;++i)
{
if(i&1)
(ans += mod - (ll)g[i] * fac[n-i] % mod) %= mod;
else
(ans += (ll)g[i] * fac[n-i] % mod) %= mod;
}
printf("%d\n",ans);
// fclose(stdin);
// fclose(stdout);
return 0;
}
静渊以有谋,疏通而知事。