数理逻辑难题汇总

1

在PC系统中证明\(\vdash (A\rightarrow C)\rightarrow((B\rightarrow C)\rightarrow(((A\rightarrow B)\rightarrow B)\rightarrow C))\).

证明思路：

1. 第一个逆否需要运用到定理21：若\(\vdash P\rightarrow Q, \vdash R\rightarrow S\)，则\(\vdash (Q\rightarrow R)\rightarrow(P\rightarrow S)\)。这个定理是三段论定理的拓展，当\((Q\rightarrow R)\)无法单独列出时相当有用。

2. 由于待证式的\(C\)都在箭头的右边，并且没法用加后件定理直接拆开，所以解法是用逆否命题把\(C\)换到箭头的左边来。之后可以看作是使用了两次公理2得到的，还原回去。

3. 由于\(\neg C\)单独出现，与后面的项无关，视作用公理1加的前件。直接去掉。后面一堆括号前面带了个否定，不好处理，用逆否命题换回来。

4. 此时需要细心观察发现可以使用前件互换定理，将两个括号里的后件都换成\(B\)。

5. 最后一步使用加后件定理，得到了定理6的形式。

实际上，如果题干没有明确指出不能使用演绎定理的话，就直接使用演绎定理。使用了演绎定理之后证明过程就很简单了。

2

将:”每个作家都写过作品，有的作家没写过小说，所以有的作品不是小说”这三句话符号化，并加以证明。

设\(A(x)\)表示\(x\)是作家，\(B(x)\)表示\(x\)是作品，\(C(x)\)表示\(x\)是小说，\(W(x, y)\)表示\(x\)写\(y\)。则这三句话可分别表示为：

1. \[\forall x(A(x)\rightarrow \exists y(B(y)\wedge W(x, y))) \]

2. \[\exists x(A(x)\wedge \forall y(C(y)\rightarrow \neg W(x, y))) \]

3. \[\exists y(B(y)\wedge \neg C(y)) \]

然后题目要求在FC系统中证明\(1, 2\vdash 3\)。

由于题目是从实际问题转化为数学问题的，我们不妨先从实际问题找找思路：有的作家没写过小说，但同时这部分作家写了作品，所以这些作家写的作品不是小说。

说起来简单，但要从数理逻辑的角度严谨地证明还是有一定难度。首先需要注意到已知式中有两个变量\(x, y\)，而待证式中只有一个\(y\)（为了方便看出这一点使用\(x\)占人的位置，使用\(y\)占作品的位置），所以需要把\(x\)消掉。又因为已知式2是用存在量词修饰的，所以需要用到存在消除定理。仔细验证发现待证的3式未出现\(x\)，1,2式中\(x\)也无自由出现，符合存在消除定理的使用条件。

用了存在消除定理拿掉2式的存在量词，我们可以提取出\(A(x)\)和\(C(y)\rightarrow \neg W(x, y)\)，把\(A(x)\)带入1式使用r_mp分离规则得到\(\exists y(B(y)\wedge W(x, y))\).

此时已经消掉了\(x\)（\(x\)自由出现无限定）。整理一下，我们目前要证明的就是

\[C(y)\rightarrow \neg W(x, y)\vdash \neg \forall y(B(y)\rightarrow \neg W(x, y))\rightarrow \neg \forall y (B(y)\rightarrow C(y)) \]

然后就套路化了。逆否命题变一下，任意符号用公理5和全称推广拿掉，再用加前件定理拿掉\(B\)就变成了假设条件。

需要注意的是证明过程用到了ND系统的合取消除分离规则，所以证明之前需要自行证明一下引理。

询问老师得知，FC系统中可以用PC和ND的定理，所以不用证明引理了。况且这个实际问题既用到了FC系统中没有的合取，又用到了ND系统里没有的存在量词和任意量词，也不好说是在FC系统里面。

3

证明：\(\vdash ((A\leftrightarrow B)\leftrightarrow A)\leftrightarrow B\)。

最外层的等价号，从右往左证明很容易。难点在于从左往右证明：

\[(A\leftrightarrow B)\leftrightarrow A\vdash B \]

拿到题不知道如何下手。经过反复尝试得到思路：

由此可知证明过程及其繁琐。评价为阴间题。