LOJ3246 Cave Paintings

Cave Paintings

Bessie 成为了一名艺术家，正在创作壁画！她现在正在创作的作品是一个高为 \(N\) 的方阵，方阵的每行都由 \(M\) 个方格组成。每个方格是空的，画了石头，或者画了水。Bessie 已经画上了包含石头的方格，包括整幅画作的边界。她现在想要将某些空的方格画上水，使得如果这幅画是真实的，其中应当不存在水的净移动。定义从上到下第 \(i\) 行的方格的高度为 \(N+1−i\)。Bessie 想要她的画作满足以下限制：

假设方格 \(a\) 画的是水。那么如果存在一条从 \(a\) 到方格 \(b\) 的路径，由高度不超过 \(a\) 的空的方格或是有水的方格组成，路径中每相邻两个方格都有一条公共边，那么 \(b\) 画的也是水。

求 Bessie 可以创作的不同作品的数量模 \(10^9+7\) 的余数。Bessie 可以将任意数量的空格画上水，包括不画以及全画。

对于 \(100\%\) 的数据，保证 \(1\le N, M\le 10^3\)。

题解

https://jklover.hs-blog.cf/2020/06/10/Loj-3246-Cave-Paintings/#more

树形 dp.

重要性质：如果两个点能通过本行及下方的点四连通的点缩在一起，它们的方案一定是一样的.

把这种点缩在一起，然后限制一定是森林。

简单的树形 dp 即可统计方案数,可以不显式建树,用并查集维护即可.

CO int N=1e3+10;
char str[N][N];
int idx[N][N];
int dp[N*N],fa[N*N];

int find(int x){
	return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]);
}
int main(){
	int n=read<int>(),m=read<int>();
	for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%s",str[i]+1);
	int num=0;
	for(int i=n-1;i>=2;--i){
		int old=num;
		for(int j=2;j<=m-1;++j)if(str[i][j]=='.'){
			if(str[i][j-1]=='#') dp[++num]=1,fa[num]=num;
			idx[i][j]=num;
			if(str[i+1][j]=='.'){
				int tmp=find(idx[i+1][j]);
				if(tmp!=num) dp[num]=mul(dp[num],dp[tmp]),fa[tmp]=num;
			}
		}
		for(int j=old+1;j<=num;++j)if(find(j)==j) dp[j]=add(dp[j],1);
	}
	int ans=1;
	for(int i=1;i<=num;++i)if(find(i)==i) ans=mul(ans,dp[i]);
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}