JXOI2017 数列

数列

九条可怜手上有一个长度为 $n$ 的整数数列 $r_i$ ，她现在想要构造一个长度为 $n$ 的，满足如下条件的整数数列 $A$：

• $1\leq A_i \leq r_i$。
• 对于任意 $3 \leq i \leq n$，令 $R$ 为 $A_1$ 至 $A_{i-2}$ 中大于等于 $A_{i-1}$ 的最小值，$L$ 为 $A_1$ 至 $A_{i-2}$ 中小于等于 $A_{i-1}$ 的最大值。$A_i$ 必须满足 $L \leq A_i \leq R$。如果不存在大于等于 $A_{i-1}$ 的，那 么 $R = +\infty$；如果不存在小于等于 $A_{i-1}$ 的，那么 $L = −\infty$。

现在可怜想要知道共有多少不同的数列满足这个条件。两个数列 $A$ 和 $B$ 是不同的当且仅当至少存在一个位置 $i$ 满足 $A_i \neq B_i$。

$n\leq 50,r\leq 150$

题解

http://jklover.hs-blog.cf/2020/06/06/Loj-2273-数列/#more

dp 计数.

不难发现,合法的选择区间会在选一个数之后不断收缩,将它作为状态记录下来 dp 即可.

设 $dp(i,l,r,k)$ 表示考虑了前 $i$ 个数,下个数合法的选择区间为 $[l,r]$ , 最后一个数的值为 $k$ 的方案数.

转移时,对于 $[l,l],[l+1,k-1],[k,k],[k+1,r-1],[r,r]$ 这几段分别转移,每一段内转移到新的 $l,r$ 是一样的.

于是修改差分就可以完成 $O(1)$ 转移,注意处理 $l,r$ 不存在等特殊情况,时间复杂度 $O(n\cdot r^3)$ .

CO int N=160;
int t[N],f[2][N][N][N];
 
IN void trans(int o,int l,int r,int L,int R,int v){ // k in [L,R]
	if(L>R) return;
	f[o][l][r][L]=add(f[o][l][r][L],v),f[o][l][r][R+1]=add(f[o][l][r][R+1],mod-v);
}
int main(){
	int n=read<int>(),m=0;
	for(int i=1;i<=n;++i) m=max(m,read(t[i]));
	int o=0,bound=t[1];
	f[o][0][m+1][1]=1,f[o][0][m+1][bound+1]=mod-1;
	for(int i=2;i<=n;++i){
		for(int l=0;l<=m+1;++l)for(int r=l;r<=m+1;++r)
			for(int k=l;k<=r;++k) f[o][l][r][k]=add(f[o][l][r][k],f[o][l][r][k-1]);
		o^=1,bound=t[i];
		for(int l=0;l<=m+1;++l)for(int r=l;r<=m+1;++r)
			for(int k=l;k<=r;++k) f[o][l][r][k]=0;
		for(int l=0;l<=m+1;++l)for(int r=l;r<=m+1;++r)
			for(int k=l;k<=r;++k)if(f[o^1][l][r][k]){
				int L=max(l,1),R=min(l,bound);
				trans(o,l,l,L,R,f[o^1][l][r][k]);
				L=max(l+1,1),R=min(k-1,bound);
				trans(o,l,k,L,R,f[o^1][l][r][k]);
				if(k>l){
					L=max(k,1),R=min(k,bound);
					trans(o,k,k,L,R,f[o^1][l][r][k]);
				}
				L=max(k+1,1),R=min(r-1,bound);
				trans(o,k,r,L,R,f[o^1][l][r][k]);
				if(r>k){
					L=max(r,1),R=min(r,bound);
					trans(o,r,r,L,R,f[o^1][l][r][k]);
				}
			}
	}
	int ans=0;
	for(int l=0;l<=m+1;++l)for(int r=l;r<=m+1;++r)
		for(int k=l;k<=r;++k){
			f[o][l][r][k]=add(f[o][l][r][k],f[o][l][r][k-1]);
			ans=add(ans,f[o][l][r][k]);
		}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}