LOJ6723 教科书般的亵渎

教科书般的亵渎

qwq 在玩炉石传说的时候总是打不出教科书般的亵渎，于是他重新写了一个『炉石传说』，并且将亵渎的描述改为：「等概率随机在 \([L,R]\) 中选出一个整数作为伤害值 \(d\)，对所有随从造成 \(d\) 点伤害，如果有随从死亡，则再次施放该法术，但伤害值不重新随机；如果没有随从死亡，则停止释放」，还去掉了场面上随从上限和亵渎最多触发 \(14\) 次的限制。qwq 不知道这个改版亵渎的效果怎么样，于是他打算进行一些测试，其中共进行 \(m\) 次如下类型的操作：

1. 在场面上加入一个血量为 \(h\) 的随从，这里随从的血量都不能超过 \(n\)；

2. 给定 \([L,R]\)，询问亵渎期望触发多少次；qwq 只会做操作 \(1\)，于是他就把操作 \(2\) 交给你啦。

对于 \(100\%\) 的数据，保证：\(1\le n\le 10^5\)，每次 \(1\) 操作有 \(1\le h\le n\)，每次 \(2\) 操作有 \(1\le L\le R\le n, 1\le m\le 10^6\)；以上所有数值均为整数。

题解

http://jklover.hs-blog.cf/2020/05/30/Loj-6723-教科书般的亵渎/

整除分块 + 树状数组.

先考虑给定一个伤害值 \(d\) ,如何计算施放了多少次亵渎.

将每个随从生命值 \(x\) 换成需要被攻击的次数,即 \(\lfloor \frac{x-1}{d}\rfloor +1\) ,就可以把 \(d\) 看作 \(1\) ,即每次造成 \(1\) 点伤害.

那么施放的次数就是最大的 \(x\) ,使得 \(1,2,3,\dots, x\) 作为生命值在随从中都出现过,再加上 \(1\) .

考虑对于每个 \(d\) 都直接维护出答案,询问时利用树状数组查询 \([L,R]\) 内的区间和.

每加入一个数 \(x\) 的时候,对它整除分块,它对一段区间 \([L,R]\) 的贡献都是加入了一个数 \(k\) .

对每个 \(k\) 用 set 维护它在哪些位置是作为最大的 \(x\) ,将 \([L,R]\) 内 \(k-1\) 作为最大的 \(x\) 的位置全部更新一遍.答案.

由于只有增加数字的操作,所以对于每个位置 \(d\) ,更新次数不会超过 \(\frac {n}{d}\) .

时间复杂度 \(O(n\log^2n+n\sqrt n)\) .

CO int N=1e5+10;
int n,m,buc[N],ans[N];

struct BIT{
	#define lowbit(x) (x&-x)
	int sum[N];
	
	void insert(int p,int v){
		for(;p<=n;p+=lowbit(p)) sum[p]+=v;
	}
	int query(int p){
		int ans=0;
		for(;p;p-=lowbit(p)) ans+=sum[p];
		return ans;
	}
}Buc,Ans; // prefix sum

set<int> pos[N];

void solve(int d){
	Ans.insert(d,-ans[d]);
	while(1){
		int l=d*ans[d]+1,r=l+d-1;
		l=min(l,n+1),r=min(r,n);
		if(Buc.query(r)-Buc.query(l-1)) ++ans[d];
		else break;
	}
	Ans.insert(d,ans[d]);
	pos[ans[d]].insert(d);
}
void update(int l,int r,int k){
	set<int>::iterator begin=pos[k].lower_bound(l),end=pos[k].upper_bound(r);
	for(set<int>::iterator i=begin;i!=end;i=pos[k].erase(i)) solve(*i);
}
int main(){
	read(n),read(m);
	for(int i=1;i<=n;++i) pos[0].insert(i);
	while(m--){
		if(read<int>()==1){
			int x=read<int>();
			if(buc[x]) continue;
			buc[x]=1,Buc.insert(x,1);
			for(int l=1,r;l<=x-1;l=r+1){
				r=(x-1)/((x-1)/l);
				update(l,r,(x-1)/l);
			}
			update(x,n,0);
		}
		else{
			int l=read<int>(),r=read<int>();
			printf("%d\n",Ans.query(r)-Ans.query(l-1)+r-l+1);
		}
	}
	return 0;
}