LG1742 最小圆覆盖 和 LOJ6360 复燃「恋之埋火」
LG1742 最小圆覆盖
给出\(N\)个点，让你画一个最小的包含所有点的圆。
\(N\leq 100000\)。
随机增量法
https://www.luogu.com.cn/blog/boshi/solution-p1742
定理：如果点\(p\)不在集合\(S\)的最小覆盖圆内，则\(p\)一定在\(S\cup\{p\}\)的最小覆盖圆上。
根据这个定理，我们可以分三次确定前\(i\)个点的最小覆盖圆。
- 令前\(i-1\)个点的最小覆盖圆为\(C\)
- 如果第\(i\)个点在\(C\)内，则前\(i\)个点的最小覆盖圆也是\(C\)
- 如果不在，那么第\(i\)个点一定在前\(i\)个点的最小覆盖圆上，接着确定前\(i-1\)个点中还有哪两个在最小覆盖圆上。因此，设当前圆心为\(P_i\)，半径为0，做固定了第\(i\)个点的前\(i\)个点的最小圆覆盖。
- 固定了一个点：不停地在范围内找到第一个不在当前最小圆上的点\(P_j\)，设当前圆心为\((P_i+P_j)/2\)，半径为\(\frac{1}{2}|P_iP_j|\)，做固定了两个点的，前\(j\)个点外加第\(i\)个点的最小圆覆盖。
- 固定了两个点：不停地在范围内找到第一个不在当前最小圆上的点\(P_k\)，设当前圆为\(P_i,P_j,P_k\)的外接圆。
复杂度证明
由于一堆点最多只有\(3\)个点确定了最小覆盖圆，因此\(n\)个点中每个点参与确定最小覆盖圆的概率不大于\(\frac{3}{n}\)。
所以，每一层循环在第\(i\)个点处调用下一层的概率不大于\(\frac{3}{i}\)。
那么设算法的三个循环的复杂度分别为\(T_1(n),T_2(n),T_3(n)\)，则有：
不难解得，\(T_1(n)=T_2(n)=T_3(n)=O(n)\)。
struct point {float128 x,y;};
IN point operator+(CO point&a,CO point&b){
return {a.x+b.x,a.y+b.y};
}
IN point operator-(CO point&a,CO point&b){
return {a.x-b.x,a.y-b.y};
}
IN point operator*(CO point&a,float128 k){
return {a.x*k,a.y*k};
}
IN point operator/(CO point&a,float128 k){
return {a.x/k,a.y/k};
}
IN float128 dot(CO point&a,CO point&b){
return a.x*b.x+a.y*b.y;
}
IN float128 cross(CO point&a,CO point&b){
return a.x*b.y-a.y*b.x;
}
IN float128 dist(CO point&a,CO point&b){
return sqrt(dot(b-a,b-a));
}
IN point rotate90(CO point&a){
return {a.y,-a.x};
}
IN point intersect(CO point&a,CO point&u,CO point&b,CO point&v){
return b+v*(cross(b-a,u)/cross(u,v));
}
IN point center(CO point&a,CO point&b,CO point&c){
return intersect((a+b)/2,rotate90(b-a),(a+c)/2,rotate90(c-a));
}
CO int N=1e5+10;
point p[N];
int main(){
srand(20030506);
int n=read<int>();
for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%Lf%Lf",&p[i].x,&p[i].y);
random_shuffle(p+1,p+n+1);
point c={};
float128 r=0;
for(int i=1;i<=n;++i)if(dist(p[i],c)>r){
c=p[i],r=0;
for(int j=1;j<i;++j)if(dist(p[j],c)>r){
c=(p[i]+p[j])/2,r=dist(p[j],c);
for(int k=1;k<j;++k)if(dist(p[k],c)>r){
c=center(p[i],p[j],p[k]),r=dist(p[k],c);
}
}
}
printf("%.10Lf\n%.10Lf %.10Lf\n",r,c.x,c.y);
return 0;
}
LOJ6360 复燃「恋之埋火」
古明地恋(koishi)和小石子(koishi)是好朋友。旧地狱的空中散布着许多颗小石子。恋恋想找出一个位置，使得这个位置离最远的小石子的距离尽可能小。
需要注意的是，这里的空间可能是高维空间。
对于100%的数据，\(n\leq 20000,m\leq 5,0\leq\)所有坐标\(\leq 10^4\)
题解
http://jklover.hs-blog.cf/2020/04/13/Loj-6360-复燃「恋之埋火」/
高维空间的最小圆覆盖.
题意就是要求\(m\)维空间内\(n\)个点的最小圆覆盖。
把二维的随机增量算法直接拓展到高维，不难发现复杂度的分析是类似的。
当我们已经加入\(k\)个点时，需要在这\(k\)个点所在的\(k−1\)维平面上找一个圆心,使得它到这\(k\)个点距离相等.
从这\(k\)个点中选一个点作为原点，它到另外\(k−1\)个点的\(k−1\)个向量显然就是这个平面的一组基底。
只需要求出这些向量各自的系数即可确定圆心。
根据圆心到原点和到其他任意一个点的距离相同，可以列出\(k−1\)个方程，高斯消元求出系数，进而确定圆心位置.
时间复杂度\(O(nm^3)\)。
CO int N=2e4+10,M=10;
int n,m;
typedef valarray<float128> point;
float128 dist(CO point&a,CO point&b){
float128 ans=0;
for(int i=0;i<m;++i) ans+=(a[i]-b[i])*(a[i]-b[i]);
return ans;
}
int id[M],k=0;
point p[N],center,vec[M];
float128 radius,a[M][M];
void find_center(){
for(int i=0;i<=k;++i) fill(a[i],a[i]+k+1,0);
for(int i=1;i<k;++i) vec[i]=p[id[i]]-p[id[0]];
for(int i=1;i<k;++i)for(int j=0;j<m;++j){
a[i][k]+=vec[i][j]*vec[i][j];
for(int l=1;l<k;++l) a[i][l]+=2*vec[i][j]*vec[l][j];
}
for(int i=1;i<k;++i){
int p=i;
for(int j=i+1;j<k;++j)if(abs(a[j][i])>abs(a[p][i])) p=j;
if(p!=i) swap(a[i],a[p]);
for(int j=1;j<k;++j)if(j!=i){
float128 t=a[j][i]/a[i][i];
for(int l=1;l<=k;++l) a[j][l]-=a[i][l]*t;
}
}
for(int i=0;i<m;++i) center[i]=0;
for(int i=1;i<k;++i) center=center+(vec[i]*a[i][k]/a[i][i]);
center=center+p[id[0]];
}
void dfs(int x,int bound){
if(x>m) return;
for(int i=0;i<bound;++i)if(dist(p[i],center)>radius){
id[k++]=i;
find_center();
radius=dist(center,p[i]);
dfs(x+1,i);
--k;
}
}
int main(){
srand(20030506);
read(n),read(m);
for(int i=0;i<n;++i){
p[i].resize(m);
for(int j=0;j<m;++j) scanf("%Lf",&p[i][j]);
}
random_shuffle(p,p+n);
center=p[0],radius=-1;
dfs(0,n);
for(int i=0;i<m;++i) printf("%.6Lf%c",center[i]," \n"[i==m-1]);
return 0;
}
这个
valarray到底是何方神圣？
