LOJ3274 变色龙之恋
变色龙之恋
在 JOI 动物园中，有着 \(2N\) 只变色龙，编号为 \(1\ldots 2N\)。其中，有 \(N\) 只变色龙的性别为 X，其余 \(N\) 只的性别为 Y。
每只变色龙都有一个原色。关于原色的可公开情报如下：
- 所有性别为 X 的变色龙的原色不同。
- 对于每只性别为 X 的变色龙，都存在唯一的原色与其相同的变色龙，且性别为 Y。
现在，JOI 动物园迎来了恋爱的季节。每只变色龙都爱上了另一只变色龙。关于恋爱对象的可公开情报如下：
- 每只变色龙都很专一于唯一一只异性的变色龙。
- 一只变色龙和它的恋爱对象的原色不同。
- 不存在两只变色龙同时追求另一只变色龙。
你可以召集一部分变色龙来组织一场会议。对于一只参加会议的变色龙 \(s\)，令 \(t\) 为它的恋爱对象。\(s\) 的肤色由以下方式决定：
- 如果 \(t\) 参加了这场会议，则 \(s\) 的肤色为 \(t\) 的原色。
- 如果 \(t\) 没参加这场会议，则 \(s\) 的肤色为 \(s\) 的原色。
一只变色龙的肤色可以在不同的会议间发生改变。对于你组织的一场会议，你可以得到场上所有变色龙的肤色的种类数。
由于变色龙也会感到厌烦，所以你最多只能组织 \(20\,000\) 场会议。同时你需要根据你得到的信息，确定有哪些变色龙的原色相同。
请你写一个程序在组织不超过 \(20\,000\) 场会议的前提下确定所有相同原色的变色龙。
\(2 \le N \le 500\)。
题解
https://hk-cnyali.com/2020/03/24/「JOISC-2020-Day2」变色龙之恋-交互-二分图/
https://blog.csdn.net/zxyoi_dreamer/article/details/105255333
先规定一些记号：
-
\(x'\)：与\(x\)同色的点。
-
\(L(x)\)：\(x\)喜欢的点。
-
\(L^{-1}(x)\)：喜欢\(x\)的点。
考虑先把所有大小为\(2\)的集合的答案问出来，不难发现答案只可能是\(1\)或\(2\)。
答案为\(1\)的三种情况：\(\{x,x'\},\{x,L(x)\},\{x,L^{-1}(x)\}\)。后两种会出现当且仅当\(L(x)\neq L^{-1}(x)\)。
我们给答案为\(1\)的点对\((x, y)\)连一条边，那么每个点的度数只可能是\(1\)或\(3\)。
-
若一个点度数为\(1\)，则可以直接得到同色的点。
-
若一个点度数为\(3\)，设它为\(x\)，三条边分别为\((x,x'),(x,L(x)),(x,L^{-1}(x))\)。只需询问\(\{x,x',L(x)\},\{x,x',L^{-1}(x)\},\{x,L(x),L^{-1}(x)\}\)，这三个集合，答案分别为\(2,1,2\)，那么我们就能得到\(L(x)\)和\(L^{-1}(L(x))\)。最后我们简单处理一下就能得到同色点了。
这样就得到了询问\(O(n^2)\)的做法了。
考虑优化前半部分的复杂度。
不难发现这些边连成的图是二分图，设当前要处理\(i\)点与\(1 \sim i - 1\)点之间的连边，考虑将\(1 \sim i - 1\)这些点分成两个独立集，满足集合内部没有边（可以暴力染色处理）。
我们可以根据独立集的性质来判断是否有边: 一个集合\(S\)是独立集当且仅当\(\texttt{Query}(S) = |S|\)。也就是说，点\(i\)和一个独立集\(S\)有边当且仅当\(\texttt{Query}(\{S, i\}) \ne |S| + 1\)。
于是可以通过二分来逐条找边了。复杂度\(O(n \log n)\)。
CO int N=1e3+10;
vector<int> to[N];
int col[N];
vector<int> node[2];
int L[N],vis[N];
void dfs(int x,int c){
col[x]=c,node[c].push_back(x);
for(int y:to[x])if(col[y]==-1) dfs(y,!c);
}
void calc(vector<int> vec,int x){
while(1){
vec.push_back(x);
if(Query(vec)==(int)vec.size()) return;
vec.pop_back();
int l=0,r=vec.size()-1,goal=-1;
while(l<=r){
int mid=(l+r)>>1;
vector<int> tmp(vec.begin()+l,vec.begin()+mid+1);
tmp.push_back(x);
if(Query(tmp)!=(int)tmp.size()) goal=mid,r=mid-1;
else l=mid+1;
}
if(goal==-1) return;
int y=vec[goal];
to[x].push_back(y),to[y].push_back(x);
vec.erase(vec.begin()+goal);
}
}
void get_edges(int x){
node[0].clear(),node[1].clear();
fill(col,col+x,-1);
for(int i=1;i<x;++i)if(col[i]==-1) dfs(i,0);
calc(node[0],x),calc(node[1],x);
}
void Solve(int n){
for(int i=1;i<=2*n;++i) get_edges(i);
for(int i=1;i<=2*n;++i)if(to[i].size()==3){
for(int j=0;j<3;++j){
vector<int> vec={i};
for(int k=0;k<3;++k)if(k!=j)
vec.push_back(to[i][k]);
if(Query(vec)==1) {L[i]=to[i][j]; break;}
}
}
for(int i=1;i<=2*n;++i){
if(to[i].size()==1){
if(!vis[i] and !vis[to[i][0]])
Answer(i,to[i][0]),vis[i]=vis[to[i][0]]=1;
continue;
}
for(int j=0;j<3;++j){
if(L[i]==to[i][j] or L[to[i][j]]==i) continue;
if(!vis[i] and !vis[to[i][j]])
Answer(i,to[i][j]),vis[i]=vis[to[i][j]]=1;
}
}
}
