AGC31E Snuke the Phantom Thief

Snuke the Phantom Thief

有 \(N\) 个珠宝，第 \(i\) 个位于 \((x_i, y_i)\)，价值为 \(v_i\)。你可以选择一些珠宝，有若干限制，每个限制形如如下四种之一：

• \(x ≤ a_i\) 的珠宝只能选择不超过 \(b_i\) 个；

• \(x ≥ a_i\) 的珠宝只能选择不超过 \(b_i\) 个；

• \(y ≤ a_i\) 的珠宝只能选择不超过 \(b_i\) 个；

• \(y ≥ a_i\) 的珠宝只能选择不超过 \(b_i\) 个；

最大化选择的总价值。

\(1 ≤ N ≤ 80，1 ≤ x_i, y_i, a_i≤ 100\)。

题解

https://www.cnblogs.com/zhoushuyu/p/10548483.html

首先这数据范围看着就很费用流

先考虑一维怎么做。

一个很妙的转化是：限制横坐标 \(≤a_i\) 的珠宝里至多选 \(b_i\) 个，等价于选择的横坐标第 \(b_{i+1}\) 小的珠宝，其横坐标必须 \(>a_i\)。

如果是限制横坐标 \(≥a_i\) 的珠宝至多选 \(b_i\) 个，则可以先枚举选 \(s\) 个珠宝，然后限制就等价于选择的第 \(s-b_i\) 个珠宝其横坐标必须 \(<a_i\)。（前述只考虑 \(b_i < s\) 的限制，\(b_i ≥ s\) 的限制显然无效）

这样我们就可以得到 \(s\) 个二元组 \([l_j,r_j]\)，分别表示第 \(j\) 个珠宝的横坐标的范围限制。注意这 \(s\) 个二元组的 \(l\) 和 \(r\) 应满足单调不降。

这样我们就得到了一个匹配的模型：二分图一侧有 \(s\) 个点，另一侧有 \(n\) 个点，满足范围限制的点之间连边，然后求一组最大权匹配即可。

至于二维的问题，可以直接把图拆成三份，即左侧 \(s\) 个点表示横坐标的限制，中间拆 \(2n\) 个点内部连权值的边表示珠宝，右侧另 \(s\) 个点表示纵坐标的限制。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define CO const
#define IN inline
typedef long long int64;

template<class T> IN T read(){
	T x=0,w=1;char c=getchar();
	for(;!isdigit(c);c=getchar())if(c=='-') w=-w;
	for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
	return x*w;
}
template<class T> IN T read(T&x){
	return x=read<T>();
}

CO int N=400;
CO int64 inf=1e18;
namespace flow{
	int n,S,T;
	struct edge {int v,c;int64 w;int a;};
	vector<edge> to[N];
	int64 dis[N];int vis[N];

	IN void init(int n){
		flow::n=n,S=n-1,T=n;
		for(int i=1;i<=n;++i) to[i].clear();
	}
	IN void link(int u,int v,int c,int64 w){
		to[u].push_back({v,c,w}),to[v].push_back({u,0,-w});
		to[u].back().a=to[v].size()-1,to[v].back().a=to[u].size()-1;
	}
	bool bfs(){
		fill(dis+1,dis+n+1,-inf),dis[T]=0;
		deque<int> Q={T};vis[T]=1;
		while(Q.size()){
			int u=Q.front();
			Q.pop_front(),vis[u]=0;
			for(CO edge&e:to[u])if(to[e.v][e.a].c){
				if(dis[e.v]<dis[u]-e.w){ // edit 1: -w
					dis[e.v]=dis[u]-e.w;
					if(vis[e.v]) continue;
					if(Q.size() and dis[e.v]>=dis[Q.front()])
						Q.push_front(e.v);
					else Q.push_back(e.v);
					vis[e.v]=1;
				}
			}
		}
		return dis[S]>-inf;
	}
	int dfs(int u,int lim){
		if(u==T) return lim;
		vis[u]=1;
		int rest=lim;
		for(edge&e:to[u])if(!vis[e.v] and e.c and dis[e.v]==dis[u]-e.w){
			int delta=dfs(e.v,min(e.c,rest));
			if(!delta) {dis[e.v]=-inf;continue;}
			rest-=delta,e.c-=delta,to[e.v][e.a].c+=delta;
			if(!rest) break;
		}
		vis[u]=0;
		return lim-rest;
	}
	int64 main(){
		int64 ans=0;
		while(bfs()) ans+=dfs(S,1e9)*dis[S];
		return ans;
	}
}

int n,X[N],Y[N];int64 V[N];
int m,O[N],A[N],B[N];
int L[N],R[N],D[N],U[N];

int64 solve(int s){
	fill(L+1,L+s+1,0),fill(D+1,D+s+1,0);
	fill(R+1,R+s+1,233),fill(U+1,U+s+1,233); // edit 2: range of XY
	for(int i=1;i<=m;++i)if(B[i]<s){
		if(O[i]=='L') L[B[i]+1]=A[i]+1;
		else if(O[i]=='R') R[s-B[i]]=A[i]-1;
		else if(O[i]=='D') D[B[i]+1]=A[i]+1;
		else U[s-B[i]]=A[i]-1;
	}
	for(int i=2;i<=s;++i){
		L[i]=max(L[i],L[i-1]);
		D[i]=max(D[i],D[i-1]);
	}
	for(int i=s-1;i>=1;--i){
		R[i]=min(R[i],R[i+1]);
		U[i]=min(U[i],U[i+1]);
	}
	flow::init(2*n+2*s+2);
	for(int i=1;i<=n;++i) flow::link(i,i+n,1,V[i]);
	for(int i=1;i<=s;++i){
		flow::link(flow::S,i+2*n,1,0),flow::link(i+2*n+s,flow::T,1,0);
		for(int j=1;j<=n;++j){
			if(L[i]<=X[j] and X[j]<=R[i]) flow::link(i+2*n,j,1,0);
			if(D[i]<=Y[j] and Y[j]<=U[i]) flow::link(j+n,i+2*n+s,1,0);
		}
	}
	return flow::main();
}
int main(){
	read(n);
	for(int i=1;i<=n;++i) read(X[i]),read(Y[i]),read(V[i]);
	read(m);
	for(int i=1;i<=m;++i){
		char opt[2];scanf("%s",opt);
		O[i]=opt[0],read(A[i]),read(B[i]);
	}
	int64 ans=0;
	for(int i=1;i<=n;++i) ans=max(ans,solve(i));
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}

好久不写费用流都写不对了……