LG4233 射命丸文的笔记

射命丸文的笔记

如果一个竞赛图含有哈密顿回路，则称这张竞赛图为值得记录的。

从所有含有 \(n\) 个顶点（顶点互不相同）的，值得记录的竞赛图中等概率随机选取一个。求选取的竞赛图中哈密顿回路数量的期望值。

答案对 \(998244353\) 取模。若不存在这样的竞赛图输出-1。

\(n \leq 10^5\)。

题解

考虑分别计算分子和分母。

分子就是哈密顿回路的总数，可以使用期望的线性性来求它。

一共有 \((n-1)!\) 种哈密顿回路，每种哈密顿回路出现在 \(2^{\binom{n}{2}-n}\) 种竞赛图里，所以 \(n\) 个点的竞赛图中哈密顿回路的总数是 \((n-1)!\ 2^{\binom{n}{2}-n}\) 条。

分子就是强连通竞赛图的数量，可以使用生成函数来求它。

设 \(n\) 个点有标号强连通竞赛图的数量为 \(f_n\)。竞赛图总数是 \(g_n=2^{\binom{n}{2}}\)。

枚举拓扑序最小的强连通分量大小为 \(i\)，则该强连通分量向其他的点连边的方向是固定的，剩下\((n-i)\)个点的边任意连，所以

\[f_n=g_n-\sum_{i=1}^{n-1}\binom{n}{i}f_ig_{n-i}\\ g_n=\sum_{i=1}^n\binom{n}{i}f_ig_{n-i} \]

设 \(f,g\) 的EGF为 \(F(x),G(x)\)，那么

\[G(x)-g_0=F(x)G(x)\\ F(x)=1-\frac{g_0}{G(x)} \]

多项式求逆即可。时间复杂度 \(O(n\log n)\)。

CO int N=262144;
int omg[2][N],rev[N];
int fac[N],inv[N],ifac[N];

void NTT(poly&a,int dir){
	int lim=a.size(),len=log2(lim);
	for(int i=0;i<lim;++i) rev[i]=rev[i>>1]>>1|(i&1)<<(len-1);
	for(int i=0;i<lim;++i)if(i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
	for(int i=1;i<lim;i<<=1)
		for(int j=0;j<lim;j+=i<<1)for(int k=0;k<i;++k){
			int t=mul(omg[dir][N/(i<<1)*k],a[j+i+k]);
			a[j+i+k]=add(a[j+k],mod-t),a[j+k]=add(a[j+k],t);
		}
	if(dir==1){
		int ilim=fpow(lim,mod-2);
		for(int i=0;i<lim;++i) a[i]=mul(a[i],ilim);
	}
}
poly operator~(poly a){
	int n=a.size();
	poly b={fpow(a[0],mod-2)};
	if(n==1) return b;
	a.resize(1<<(int)ceil(log2(n)));
	for(int lim=2;lim<2*n;lim<<=1){
		poly c(a.begin(),a.begin()+lim);
		c.resize(lim<<1),NTT(c,0);
		b.resize(lim<<1),NTT(b,0);
		for(int i=0;i<lim<<1;++i) b[i]=mul(2+mod-mul(c[i],b[i]),b[i]);
		NTT(b,1),b.resize(lim);
	}
	return b.resize(n),b;
}

int main(){
	omg[0][0]=1,omg[0][1]=fpow(3,(mod-1)/N);
	omg[1][0]=1,omg[1][1]=fpow(omg[0][1],mod-2);
	fac[0]=fac[1]=1;
	inv[0]=inv[1]=1;
	ifac[0]=ifac[1]=1;
	for(int i=2;i<N;++i){
		omg[0][i]=mul(omg[0][i-1],omg[0][1]);
		omg[1][i]=mul(omg[1][i-1],omg[1][1]);
		fac[i]=mul(fac[i-1],i);
		inv[i]=mul(mod-mod/i,inv[mod%i]);
		ifac[i]=mul(ifac[i-1],inv[i]);
	}
	int n=read<int>();
	poly g(n+1);
	for(int i=0;i<=n;++i) g[i]=mul(fpow(2,(int64)i*(i-1)/2%(mod-1)),ifac[i]);
	poly f=~g;
	for(int i=3;i<=n;++i) f[i]=mul(mod-f[i],fac[i]);
	if(n>=1) puts("1");
	if(n>=2) puts("-1");
	for(int i=3;i<=n;++i){
		int ans=mul(fac[i-1],mul(fpow(2,(int64)i*(i-3)/2%(mod-1)),fpow(f[i],mod-2)));
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}