LOJ6569 仙人掌计数 和 LG5434 荒漠计数

仙人掌计数

求 \(n\) 个点有标号仙人掌的个数。答案对 \(998244353\) 取模。

\(n \leq 10^5\)。

题解

https://www.luogu.com.cn/blog/NaCly-Fish-blog/solution-p5434

我们随便钦定一个点作为根，设仙人掌数量的EGF为 \(F(x)\)。(虽然题目中要求是无根的，但是最后答案就差一个\(\frac1n\)而已，乘上就好了)

考虑一坨东西与根相邻，分两种情况讨论：

• 如果根连出去了一个单点，那么它也是仙人掌，所以这一块的生成函数还是 \(F(x)\)。

• 如果根连出去了一个环，且共有\(i+1\)个点，那么其生成函数为 \(\frac{F(x)^i}{2}\)。

  除以 \(2\) 是因为每种环都被正反算了两次。

由于边和环都可以随便排列，所以它们总的生成函数就是：

\[\exp\left(F(x)+\frac12\sum_{i=2}^\infty F(x)^i\right) \]

\(\exp\) 中右边那一坨东西，可以用等比数列化简：

\[\exp\left(F(x)+\frac{F(x)^2}{2-2F(x)}\right)=\exp \frac{2F(x)-F(x)^2}{2-2F(x)} \]

\(F(x)^\infty \mod x^n=0\)

由于上面的推导都是没有考虑根的，所以我们把根算上，就能得到一个函数方程：

\[F(x)=x\exp \frac{2F(x)-F(x)^2}{2-2F(x)} \]

推到这一步，接下来就比较好想了，直接牛顿迭代。
只要求出\(G(F(x))\)的零点，就得到我们要的\(F(x)\)了。

\[G(F(x))=x\exp \frac{2F(x)-F(x)^2}{2-2F(x)}-F(x) \]

根据牛顿迭代式（\(F_n(x)\) 表示下一次迭代的结果）：

\[F_n(x)=F(x)-\frac{G(F(x))}{G'(F(x))}\\ G'(F(x))=\left(x\exp \frac{2F(x)-F(x)^2}{2-2F(x)}-F(x)\right)'\\ =\left(\frac{2F(x)-F(x)^2}{2-2F(x)}\right)'x\exp \frac{2F(x)-F(x)^2}{2-2F(x)}-1\\ =\frac{F(x)^2-2F(x)+2}{2(F(x)-1)^2}x\exp \frac{2F(x)-F(x)^2}{2-2F(x)}-1\\ F_n(x)=F(x)-\frac{2x\exp\frac{2F(x)-F(x)^2}{2-2F(x)}-2F(x)}{\left(1+\frac{1}{(F(x)-1)^2}\right)x\exp\frac{2F(x)-F(x)^2}{2-2F(x)}-2} \]

对 \(F(x)\) 求导的时候把 \(x\) 看成常数。

别看这个式子有那么大一坨，它的分子和分母都含有 \(x\exp \frac{2F(x)-F(x)^2}{2-2F(x)}\)。按照这个式子直接算即可，注意所有多项式运算都要模 \(x^{n+1}\)。

由于算出来的 \(F(x)\) 是有根仙人掌的生成函数，要把它变成无根的情况，它的 \(n\) 次项都要乘 \(\frac{1}{n}\)。

时间复杂度 \(O(n \log n)\)。

CO int N=262144;
int omg[2][N],rev[N];
int fac[N],inv[N],ifac[N];

void NTT(poly&a,int dir){
	int lim=a.size(),len=log2(lim);
	for(int i=0;i<lim;++i) rev[i]=rev[i>>1]>>1|(i&1)<<(len-1);
	for(int i=0;i<lim;++i)if(i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
	for(int i=1;i<lim;i<<=1)
		for(int j=0;j<lim;j+=i<<1)for(int k=0;k<i;++k){
			int t=mul(omg[dir][N/(i<<1)*k],a[j+i+k]);
			a[j+i+k]=add(a[j+k],mod-t),a[j+k]=add(a[j+k],t);
		}
	if(dir==1){
		int ilim=fpow(lim,mod-2);
		for(int i=0;i<lim;++i) a[i]=mul(a[i],ilim);
	}
}
poly operator~(poly a){
	int n=a.size();
	poly b(1,fpow(a[0],mod-2));
	if(n==1) return b;
	int lim=2;
	for(;lim<n;lim<<=1){
		poly c(a.begin(),a.begin()+lim);
		c.resize(lim<<1),NTT(c,0);
		b.resize(lim<<1),NTT(b,0);
		for(int i=0;i<lim<<1;++i) b[i]=mul(2+mod-mul(c[i],b[i]),b[i]);
		NTT(b,1),b.resize(lim);
	}
	a.resize(lim<<1),NTT(a,0);
	b.resize(lim<<1),NTT(b,0);
	for(int i=0;i<lim<<1;++i) b[i]=mul(2+mod-mul(a[i],b[i]),b[i]);
	NTT(b,1),b.resize(n);
	return b;
}
poly log(poly a){
	int n=a.size();
	poly b=~a;
	a.resize(n-1);
	for(int i=0;i<n-1;++i) a[i]=mul(a[i+1],i+1);
	int lim=1<<(int)ceil(log2(2*n-2));
	a.resize(lim),NTT(a,0);
	b.resize(lim),NTT(b,0);
	for(int i=0;i<lim;++i) a[i]=mul(a[i],b[i]);
	NTT(a,1),a.resize(n);
	for(int i=n-1;i>=1;--i) a[i]=mul(a[i-1],inv[i]);
	return a[0]=0,a;
}
poly exp(poly a){
	int n=a.size();
	poly b(1,1); // a[0]=1
	if(n==1) return b;
	int lim=2;
	for(;lim<n;lim<<=1){
		b.resize(lim);poly c=log(b);
		c[0]=add(1+a[0],mod-c[0]);
		for(int i=1;i<lim;++i) c[i]=add(a[i],mod-c[i]);
		c.resize(lim<<1),NTT(c,0);
		b.resize(lim<<1),NTT(b,0);
		for(int i=0;i<lim<<1;++i) b[i]=mul(c[i],b[i]);
		NTT(b,1),b.resize(lim);
	}
	b.resize(lim);poly c=log(b);
	c[0]=add(1+a[0],mod-c[0]);
	for(int i=1;i<n;++i) c[i]=add(a[i],mod-c[i]);
	c.resize(lim<<1),NTT(c,0);
	b.resize(lim<<1),NTT(b,0);
	for(int i=0;i<lim<<1;++i) b[i]=mul(c[i],b[i]);
	NTT(b,1),b.resize(n);
	return b;
}
poly operator*(poly a,poly b){
	int n=a.size()-1,m=b.size()-1;
	int lim=1<<(int)ceil(log2(n+m+1));
	a.resize(lim),NTT(a,0);
	b.resize(lim),NTT(b,0);
	for(int i=0;i<lim;++i) a[i]=mul(a[i],b[i]);
	NTT(a,1),a.resize(n+m+1);
	return a;
}

poly solve(int n){
	poly f{0,1};
	if(n==2) return f;
	int lim=4;
	for(;lim<2*n;lim<<=1){ // edit 1
		f.resize(lim);
		poly g=f;
		NTT(g,0);
		for(int i=0;i<lim;++i) g[i]=mul(g[i],g[i]);
		NTT(g,1);
		poly q=g;
		poly h(lim);
		for(int i=0;i<lim;++i){
			g[i]=add(add(f[i],f[i]),mod-g[i]);
			h[i]=f[i]?mod-add(f[i],f[i]):0;
		}
		h[0]=add(h[0],2);
		h=~h;
		g.resize(lim<<1),NTT(g,0);
		h.resize(lim<<1),NTT(h,0);
		for(int i=0;i<lim<<1;++i) g[i]=mul(g[i],h[i]);
		NTT(g,1),g.resize(lim);
		h.resize(lim);
		g=exp(g);
		for(int i=lim-1;i>=1;--i) g[i]=g[i-1];
		g[0]=0;
		for(int i=0;i<lim;++i){
			h[i]=add(add(g[i],g[i]),mod-add(f[i],f[i]));
			q[i]=add(q[i],mod-add(f[i],f[i]));
		}
		q[0]=add(q[0],1);
		q=~q;
		q[0]=add(q[0],1);
		q.resize(lim<<1),NTT(q,0);
		g.resize(lim<<1),NTT(g,0);
		for(int i=0;i<lim<<1;++i) q[i]=mul(q[i],g[i]);
		NTT(q,1),q.resize(lim);
		g.resize(lim);
		q[0]=add(q[0],mod-2);
		q=~q;
		q.resize(lim<<1),NTT(q,0);
		h.resize(lim<<1),NTT(h,0);
		for(int i=0;i<lim<<1;++i) q[i]=mul(q[i],h[i]);
		NTT(q,1),q.resize(lim);
		h.resize(lim);
		for(int i=0;i<lim;++i) f[i]=add(f[i],mod-q[i]);
	}
	f.resize(n);
	return f;
}
int main(){
	omg[0][0]=1,omg[0][1]=fpow(3,(mod-1)/N);
	omg[1][0]=1,omg[1][1]=fpow(omg[0][1],mod-2);
	fac[0]=fac[1]=1;
	inv[0]=inv[1]=1;
	ifac[0]=ifac[1]=1;
	for(int i=2;i<N;++i){
		omg[0][i]=mul(omg[0][i-1],omg[0][1]);
		omg[1][i]=mul(omg[1][i-1],omg[1][1]);
		fac[i]=mul(fac[i-1],i);
		inv[i]=mul(mod-mod/i,inv[mod%i]);
		ifac[i]=mul(ifac[i-1],inv[i]);
	}
	poly f=solve(N/2);
	for(int i=1;i<N/2;++i) f[i]=mul(f[i],fac[i-1]);
	for(int T=read<int>();T--;) printf("%d\n",f[read<int>()]);
	return 0;
}

荒漠计数

荒漠是一张每个极大连通分量都是一个仙人掌无向图。

求 \(n\) 个点的有标号荒漠个数。结果对 \(998244353\) 取模。

\(n \leq 10^5\)。

题解

显然只需要把上一题的 \(F(x)\) 做个 \(\exp\) 即可。

时间复杂度 \(O(n \log n)\)。

int n=read<int>();
poly f=solve(n+1);
for(int i=1;i<=n;++i) f[i]=mul(f[i],inv[i]);
f=exp(f);
int ans=mul(f[n],fac[n]);
printf("%d\n",ans);