Topcoder CyclesNumber 和 ARC96E Everything on It

CyclesNumber

求所有 \(n\) 个点的置换的轮换个数 \(m\) 次⽅的和。

\(T\leq 300,n \leq 10^5,m\leq 300\)。

题解

https://www.cnblogs.com/jefflyy/p/9425348.html

前置知识

根据《具体数学》，斯特林数有性质：

\[\begin{Bmatrix}n+1\\m+1\end{Bmatrix}=\sum_{k=m}^n\binom{n}{k}\begin{Bmatrix}k\\m\end{Bmatrix}\\ \begin{bmatrix}n+1\\m+1\end{bmatrix}=\sum_{k=m}^n\binom{n}{k}\begin{bmatrix}k\\m\end{bmatrix}(n-k)!=n!\sum_{k=m}^n\frac{\begin{bmatrix}k\\m\end{bmatrix}}{k!}\\ \]

这两个公式的组合意义很显然，并且应该可以用归纳法证明。

还有一个类似的式子：

\[\begin{bmatrix}n+1\\m+1\end{bmatrix}=\sum_{k=m}^n\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}\binom{k}{m} \]

但它并没有什么组合意义，尝试用归纳法证明它。

\[\begin{bmatrix}n+1\\m+1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}n\\m\end{bmatrix}+n\begin{bmatrix}n\\m+1\end{bmatrix}\\ \begin{bmatrix}n\\m\end{bmatrix}=\sum_{k=m-1}^{n-1}\begin{bmatrix}n-1\\k\end{bmatrix}\binom{k}{m-1}\\ n\begin{bmatrix}n\\m+1\end{bmatrix}=n\sum_{k=m}^{n-1}\begin{bmatrix}n-1\\k\end{bmatrix}\binom{k}{m}\\ \]

注意到组合数的第二维不同，因此首要任务是把组合数拼起来。

\[\begin{bmatrix}n\\m\end{bmatrix}=\sum_{k=m}^{n}\begin{bmatrix}n-1\\k-1\end{bmatrix}\binom{k-1}{m-1}\\ n\begin{bmatrix}n\\m+1\end{bmatrix}=\sum_{k=m+1}^{n}\begin{bmatrix}n-1\\k-1\end{bmatrix}\binom{k-1}{m}+(n-1)\sum_{k=m}^{n-1}\begin{bmatrix}n-1\\k\end{bmatrix}\binom{k}{m}\\ \begin{bmatrix}n\\m\end{bmatrix}+n\begin{bmatrix}n\\m+1\end{bmatrix}=\sum_{k=m}^n\begin{bmatrix}n-1\\k-1\end{bmatrix}\left(\binom{k-1}{m-1}+\binom{k-1}{m}\right)+(n-1)\sum_{k=m}^{n-1}\begin{bmatrix}n-1\\k\end{bmatrix}\binom{k}{m}\\ =\sum_{k=m}^n\begin{bmatrix}n-1\\k-1\end{bmatrix}\binom{k}{m}+(n-1)\sum_{k=m}^{n-1}\begin{bmatrix}n-1\\k\end{bmatrix}\binom{k}{m}\\ =\sum_{k=m}^n\left(\begin{bmatrix}n-1\\k-1\end{bmatrix}+(n-1)\begin{bmatrix}n-1\\k\end{bmatrix}\right)\binom{k}{m}=\sum_{k=m}^n\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}\binom{k}{m} \]

斯特林套路

这道题求的是：

\[ans=\sum_{i=1}^n\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}i^m\\ =\sum_{i=1}^n\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}\sum_{j=0}^m\begin{Bmatrix}m\\j\end{Bmatrix}j!\binom{i}{j}\\ =\sum_{j=0}^m\begin{Bmatrix}m\\j\end{Bmatrix}j!\sum_{i=1}^n\begin{bmatrix}n\\i\end{bmatrix}\binom{i}{j}\\ =\sum_{j=0}^m\begin{Bmatrix}m\\j\end{Bmatrix}j!\begin{bmatrix}n+1\\j+1\end{bmatrix} \]

\(O(nm)\) 预处理第一类斯特林数，\(O(m^2)\) 预处理第二类斯特林数，就可以 \(O(m)\) 回答一个询问了

Topcoder的评测机很垃圾，感觉在给我随机打分。前后相差只有一行注释的两次提交都能得不同的分。

要想AC这题必须要把阶乘预处理到 \(n\)，我也不知道为什么。

int S1[100010][310],S2[310][310],fac[100010];

void init(int n,int m){
	S1[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=n+1;++i)for(int j=1;j<=min(i,m+1);++j)
		S1[i][j]=add(S1[i-1][j-1],mul(i-1,S1[i-1][j]));
	S2[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=m;++i)for(int j=1;j<=i;++j)
		S2[i][j]=add(S2[i-1][j-1],mul(j,S2[i-1][j]));
	fac[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;++i) fac[i]=mul(fac[i-1],i);
}
int solve(int n,int m){
	if(m==0) return fac[n];
	int ans=0;
	for(int i=0;i<=m;++i) ans=add(ans,mul(S2[m][i],mul(fac[i],S1[n+1][i+1])));
	return ans;
}

class CyclesNumber{
public:
	vector<int> getExpectation(vector<int> n,vector<int> m){
		init(1e5,300);
		vector<int> ans(n.size());
		for(int i=0;i<(int)n.size();++i) ans[i]=solve(n[i],m[i]);
		return ans;
	}
};

Everything on It

求有多少个子集族，满足：

1. 其中任意一个子集都是 \([n]\) 的子集；

2. 任意两个子集互不相同；

3. \(1, 2, · · · , n\) 都在其中至少出现了 \(2\) 次。

答案对 \(M\) 取模。\(2 ≤ N ≤ 3000, 10^8 ≤ M ≤ 10^9 + 9\)，\(M\) 是质数。

题解

戴大爷教会我推式子不必一步到位。

\[ans=\sum_{i=0}^n(-1)^i\binom{n}{i}F(i) \]

其中 \(F(i)\) 表示 \(1\sim i\) 出现次数小于等于 \(1\) 的方案数。

如何求 \(F(i)\) 呢？我们显然可以把所有集合分为两部分：含有 \(1\sim i\) 的和不含 \(1\sim i\) 的。我们可以把方案按照第一类集合的数量分类计算。

\[F(i)=2^{2^{n-i}}\sum_{j=0}^iG(i,j)(2^{n-i})^j \]

其中 \(G(i,j)\) 表示把分 \(1\sim i\) 入 \(j\) 个非空盒子，但是有的球可以扔掉的方案数。显然有

\[G(i,j)=\sum_{k=0}^i\binom{i}{k}\begin{Bmatrix}i-k\\j\end{Bmatrix}\\ =\sum_{k=0}^i\binom{i}{i-k}\begin{Bmatrix}i-k\\j\end{Bmatrix}\\ =\sum_{k=0}^i\binom{i}{k}\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix}i+1\\j+1\end{Bmatrix} \]

戴大爷的组合意义：

可以在 \(j\) 个集合之外新增一个集合表示垃圾堆，但是这个集合是可以为空的。怎么办呢？再新增一个 \(0\) 号球，这个球在哪个集合里面就说明哪个集合是垃圾堆。容易发现原方案与新构造的方案一一对应。

这个事情告诉我们，只要具体数学学得好，推公式那都不是事儿。什么构造，不存在的。

\[ans=\sum_{i=0}^n(-1)^i\binom{n}{i}2^{2^{n-i}}\sum_{j=0}^i\begin{Bmatrix}i+1\\j+1\end{Bmatrix}(2^{n-i})^j \]

时间复杂度 \(O(n^2\log m)\)。

CO int N=3000+10;
int C[N][N],S[N][N],B[N];

int main(){
	int n=read<int>();read(mod);
	for(int i=0;i<=n;++i){
		C[i][0]=C[i][i]=1;
		for(int j=1;j<i;++j) C[i][j]=add(C[i-1][j-1],C[i-1][j]);
	}
	S[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=n+1;++i)for(int j=1;j<=i;++j)
		S[i][j]=add(S[i-1][j-1],mul(j,S[i-1][j]));
	B[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		B[i]=B[i-1]<<1;
		if(B[i]>=mod-1) B[i]-=mod-1;
	}
	int ans=0;
	for(int i=0;i<=n;++i){
		int sum=0;
		for(int j=0;j<=i;++j) sum=add(sum,mul(S[i+1][j+1],fpow(2,(n-i)*j)));
		sum=mul(sum,mul(C[n][i],fpow(2,B[n-i])));
		ans=add(ans,i&1?mod-sum:sum);
	}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}